سفارش تبلیغ
صبا

انتگرال‌گیریِ جزء به جزء از روش‌هایی است که در محاسبه انتگرال توابعی که در یکدیگر ضرب شده‌اند، بسیار کاربرد دارد. در این مطلب در ابتدا فرمول انتگرال‌گیری جزء به جزء را بیان می‌کنیم. فارغ از این‌ که این فرمول برای شما گیج‌کننده باشد یا نه، باید بگوییم پس از حل چندین مثال که در ادامه آن آمده، حتماً این مفهوم را به خوبی هضم خواهید کرد.

محاسبه انتگرال به روش جزء به جزء

دو تابع (u(x و (v(x را فرض کنید. تصور کنید می‌خواهیم انتگرال تابع (u(x)v(x را بدست آوریم. انتگرال این تابع را می‌توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد.

integral-by-parts

اجازه دهید هم‌چون فیلم‌های سینمایی به عقب برگردیم و داستان به‌دست آمدن این فرمول‌ را روایت کنیم. برای این منظور دو تابع (u(x و (v(x را فرض کنید. از مطلب ارائه شده در مورد مشتق می‌دانیم که مشتق تابع (u(x)v(x برابر با عبارت زیر است.

product-derivative

عبارتِ دومِ سمتِ راستِ معادله بالا را به سمت چپ منتقل می‌کنیم؛ با انجام این کار رابطه بالا به شکل زیر قابل بازنویسی است.

product-derivative-2

حال از طرفین این رابطه انتگرال می‌گیریم. همان‌طور که می‌دانیم، انتگرالِ مشتقِ یک تابع، برابر با خود تابع است. بنابراین می‌توان نوشت:

integral-by-parts-1.GIF

در نتیجه با انتگرال‌گیری از رابطه بالا به فرمول نهایی ارائه شده می‌رسیم.

بنابراین می‌توان گفت:

integral-by-parts.GIF

رابطه (*)

البته فرمول بالا را می‌توان با روشی آسان‌تر و به صورت زیر پیاده کرد.

integral-by-parts-2.GIF

رابطه (**)

بنابراین به منظور محاسبه یک انتگرال به روش جزء به جزء در ابتدا بایستی توابع f و g را به نحوی انتخاب کرد که انتگرال توابع f و gf قابل محاسبه باشند. سپس با جایگذاری این مقادیر در معادله بالا به راحتی انتگرال تابع fg بدست می‌آید.

مثال‌ها

شاید در ابتدا فرمول بالا کمی مشکل به نظر برسد. از این رو به شما پیشنهاد می‌کنیم تا مثال‌های زیر را مطالعه فرمایید. به یاد داشته باشید که مهم‌ترین قدم در محاسبه یک انتگرال، انتخاب مناسب توابع f و g هستند. برای نمونه فرض کنید بخشی از تابع زیر انتگرال از عبارت sin(x)x

تشکیل شده. واضح است که اگر شما این تابع را به عنوان f در نظر بگیرید، دیگر امکان محاسبه F (که همان انتگرال f است) وجود نخواهد داشت.

مثال 1

حاصل انتگرال xex را بیابید.

فرض کنید می‌خواهیم با استفاده از رابطه ** این انتگرال را حل کنیم. با فرض کردن دو تابع x و ex به عنوان g و f می‌توان نوشت:

integral-by-parts-3

مثال 3

پاسخ انتگرال تابع (xcos(x را با استفاده از روش جزء به جزء بدست آورید.

توجه داشته باشید که همواره f و g را به شکلی در نظر بگیرید، که امکان محاسبه انتگرال تابع gf وجود داشته باشد. البته تابع f را نیز بایستی به نحوی در نظر گرفت که بتوانیم انتگرال آن را محاسبه کنیم. در این مثال x و (cos(x را به ترتیب برابر با g و f در نظر می‌گیریم. از این رو با جایگذاری این دو تابع در فرمول ** داریم:

integral-by-parts-4.GIF

می‌توان در حالت کلی گفت که تابع ساده‌تر را بایستی به عنوان g در نظر گرفت. برای نمونه در این مثال x را به عنوان تابع g در نظر گرفته‌ایم. مثال 4 به درک بهتر انتخاب f و g کمک می‌کند.

مثال 4

حاصل عبارت xln(x)dx,

را بیابید.

در این مثال به نظر می‌رسد که اگر x را به عنوان f در نظر بگیریم، F که همان انتگرال f است، راحت‌تر محاسبه شده و انتگرال تابع gf را نیز می‌توان راحت‌تر یافت. از این رو x را برابر با f و (ln(x را برابر با g فرض می‌کنیم. بنابراین با توجه به فرض صورت گرفته می‌توان نوشت:

integral-by-parts-5.GIF

توجه داشته باشید که در بعضی از موارد ممکن است نیاز باشد با دو بار استفاده از روش جزء به جزء، حاصل انتگرال را بدست آورد. در مثال 5 نمونه‌ای از چنین مثالی آورده شده است.

مثال 5

پاسخ x2sin(x)dx

را بدست آورید.

همان‌طور که کمی بالاتر بیان کردیم، معمولا در محاسبه یک انتگرال به روش جزء به جزء بهتر است که تابع ساده‌تر را به عنوان g در نظر بگیریم. در نتیجه در این مثال تابع g را برابر با x2 در نظر می‌گیریم؛ بنابراین (sin(x نیز معادل با f است. همانند مثال‌های قبلی با استفاده از فرمول ** داریم:

integral-by-parts-6.GIF

همان‌طور که می‌بینید برای محاسبه پاسخ این مثال به عبارت xcos(x)dx

می‌رسیم. پاسخ این عبارت در مثال 3 محاسبه شد. از این رو با جایگذاری پاسخ مثال 3 در رابطه بالا، جواب نهایی به صورت زیر یافت می‌شود.

integral-by-parts-7.GIF

شاید با خود فکر کرده باشید که چرا به جای 2c از c استفاده کرده‌ایم. باید توجه داشته باشید که مشتق یک عدد ثابت همواره صفر است بنابراین هر مقدار ثابتی به جای c قرار گیرد، صحیح است.

حال وقت آن رسیده تا کمی خود را محک بزنید. مثال پیش‌رو اندکی دشوار‌تر از مثال‌های قبلی است.

مثال 6

انتگرال تابع xx+1

را بیابید.

همان‌طور که بیان شد، در ابتدا تابع ساده‌تر را برابر با g در نظر بگیرید و چک کنید که آیا با این فرض، مسئله قابل حل است؟ بنابراین در این مثال تابع g را برابر با x و تابع f را برابر با x+1

در نظر می‌گیریم. در بالا بیان کردیم که F همان انتگرال تابع f است. با توجه به مفاهیم ارائه شده در مطلب روش‌های محاسبه انتگرال، قانون توان در محاسبه یک انتگرال را به صورت زیر بیان کردیم:

integral-by-parts-10.GIF

با استفاده از قانون توان، انتگرال تابع (x+1)1/2

،‌ به شکل زیر محاسبه می‌شود.

جزء به جزء

حال با بدست آمدن F می‌توان از فرمول ** به شکل زیر استفاده کرد.

integral-by-part.jpg

مسلط شدن به این روش منوط به حل مثال است. در این روش نکته مهم انتخاب توابع f و g مناسب است.






تاریخ : جمعه 97/5/26 | 9:20 صبح | نویسنده : مهندس سجاد شفیعی | نظرات ()
.: Weblog Themes By BlackSkin :.