سفارش تبلیغ
صبا

سلام
سال 1362 را با گریه آغازیدم و زندگی را بازی کردم.

زندگی صحنه یکتای هنرمندی ماست هرکسی نغمه خود خواند و از صحنه رودصحنه همواره به جاست ای خوش آن نغمه که مردم بسپارند به یاد
 کوه با نخستین سنگ آغاز می شود و. . .انسان با نخستین درد. .. .

http://tlgrm.me/sajjadshafiee_ir

ادامه مطلب...




تاریخ : یادداشت ثابت - دوشنبه 90/9/15 | 8:0 عصر | نویسنده : مهندس سجاد شفیعی | نظرات ()

 

hossein

 

آن زنده دل همیشه بیدار حسین (علیه السلام)
احیاگر عشق و روح و ایثار حسین (علیه السلام)
هر سوی که کاروان دل می‌آید
بینی که بود قافله سالار حسین (علیه السلام)

  






تاریخ : سه شنبه 97/6/27 | 2:55 عصر | نویسنده : مهندس سجاد شفیعی | نظرات ()

به انتقال حرارتی که همزمان با حرکت سیال اتفاق می‌افتد، انتقال حرارت به روش جابجایی (Convection Heat Transfer) گفته می‌شود. بسته به نوع فرآیند صورت گرفته، جابجایی حرارتی به دو دسته آزاد و اجباری تقسیم می‌شود.

بخشی از مبادله حرارت صورت گرفته بین بدن و محیط اطراف در قالب انتقال حرارت جابجایی آزاد اتفاق می‌افتد.

در جابجایی آزاد، انرژی منتقل شده ناشی از عواملی طبیعی همچون نیروی ارشمیدس است. اما در جابجایی اجباری نیرو‌های خارجی مثل پمپ یا فن منجر به حرکت سیال می‌شود.

جابجایی اجباری

تحلیل انتقال حرارت جابجایی، به دلیل همزمان بودن فرآیند هدایت حرارتی و حرکت سیال، پیچیده است. توجه داشته باشید که هر‌چه سرعت سیال بیشتر باشد، نرخ انتقال حرارت نیز افزایش خواهد یافت. هم‌چنین می‌توان سرعت انتقال حرارت جابجایی را با استفاده از قانون سرمایش نیوتن و در قالب فرمول زیر بیان کرد.

ضریب انتقال حرارت جابجایی h به خواص سیال، زبری سطح و نوع رژیم جریان (لایه‌ای یا توربولانس) وابسته است.

convection-heat-transfer

همان‌طور که در شکل نیز دیده می‌شود، سرعت سیال در سطح برابر با صفر (شرط عدم لغزش) در نظر گرفته شده. با این فرض می‌توان نتیجه گرفت، در حالتی که سرعت سیال ناچیز باشد، انتقال حرارت صورت گرفته، فقط ناشی از هدایت حرارتی خواهد بود. بنابراین می‌توان معادلات مربوط به انتقال گرما را به صورت زیر بیان کرد:

در حالت کلی ضریب انتقال حرارت جابجایی، در جهت جریان تغییر می‌کند. بنابراین به منظور بررسی حرارتی یک سیستم، از میانگین این ضریب در طول یک صفحه استفاده می‌شود.

لایه مرزی سرعت

جریانی را در طول یک صفحه در نظر بگیرید. فرض کنید سیال مد نظر با دمای T و U روی این صفحه حرکت می‌کند. (مطابق شکل)

لایه مرزی

توجه داشته باشید که شرط عدم لغزش نیز در نظر گرفته شده؛ بنابراین سرعت سیال روی صفحه جامد برابر با صفر خواهد بود. در چنین سیستمی، ذرات سیال به صورت لایه‌ای روی یکدیگر قرار گرفته‌اند، در نتیجه لایه‌هایی که با سرعت کمتری حرکت می‌کنند به وسیله اصطکاک، به لایه‌های بالاتر نیرو وارد کرده و سرعت آن‌ها را کم می‌کنند. تاثیر این نیرو تا ارتفاع مشخصی از صفحه حس خواهد شد. در این منطقه، سرعت سیال متفاوت با U است. به همین دلیل این ناحیه را «لایه‌مرزی» می‌نامند.

در لایه‌مرزی، اثرات ویسکوزیته حس می‌شوند. با توجه به مطالب بیان شده، می‌توان تنش برشی روی سطح را با استفاده از رابطه زیر توصیف کرد.

در این معادله، μ ویسکوزیته سینماتیکی سیال است که واحد آن بر حسب kg/m.s یا N.s/m2 بیان می‌شود. از نظر مفهومی، ویسکوزیته سیال بیان کننده مقاومت آن در مقابل حرکت است. مثلا ویسکوزیته عسل از آب بیشتر در نظر گرفته‌ می‌شود. از نظر فیزیکی هم می‌توان درک کرد که عسل به نسبت آب، سخت‌تر جریان می‌یابد.

viscosity

نیروی برشی را می‌توان با تعریف مفهومی تحت عنوان ضریب اصطکاک توصیف کرد. با استفاده از این بیان، تنش برشی با استفاده از معادله زیر قابل بیان است.

در این رابطه، Cf به عنوان ضریب اصطکاک در نظر گرفته می‌شود. توجه داشته باشید که در حالت کلی، بخش‌های سیال را می‌توان به سه ناحیه لایه‌ای، گذرا و توربولانس تقسیم‌بندی کرد.

گروه‌های بی‌بعد

به منظور ساده‌تر کردن مسائل جابجایی حرارتی از تعاریفی تحت عنوان گروه‌های بی بعد استفاده می‌شود.

  1. ناسلت: نسبت انتقال حرارت جابجایی به هدایتی

    در این معادله δ طول مشخصه است که در موارد صفحه و استوانه به ترتیب برابر L و D در نظر گرفته می‌شود.
  2. رینلدز: نسبت نیروی اینرسی به ویسکوز
     در رینلدز‌های بالا نیروی اینرسی در مقابل نیروی ویسکوز شدت بیشتری دارد؛ بنابراین ویسکوزیته نمی‌تواند از نواسانات سیال جلوگیری کند. [به همین دلیل است که در رینلدزهای بالا، جریان توربولانس می‎شود.] رینلدز بحرانی عددی است که در آن، جریان شروع به توربولانس شدن می‌کند. این مقدار برای جریان روی یک صفحه تخت برابر با 500000 است.
  3. پرانتل: نسبت ضخامت لایه مرزی سرعت به حرارت

    در این معادله خواص سیال عبارتند از:

لایه مرزی حرارتی

مشابه با لایه‌مرزی سرعت، لایه‌مرزی حرارتی نیز زمانی به وجود می‌آید که سیالی رو یک سطح جریان یابد. در این حالت ضخامت این لایه را با δt نشان می‌دهند.

ضخامت نسبی لایه‌مرزی سرعت و حرارت توسط عدد پرانتل توصیف می‌شود. برای نمونه، موادی هم‌چون فلزات مایع از عدد پرانتل پایینی برخوردار هستند.

جریان روی سطح تخت

ضرایب انتقال حرارت و اصطکاک را می‌توان با حل معادلات پایستگی جرم، مومنتوم و انرژی بدست آورد. هم‌چنین این مشخصات را می‌توان به صورت آزمایشگاهی تعیین کرد. عدد ناسلت به صورت زیر تعریف می‌شود.

در این معادله C، m و n ثابت هستند و L به عنوان طول صفحه در نظر گرفته می‌شود. خواص سیال در دمایی تحت عنوان «دمای فیلم» در نظر گرفته می‌شوند. در واقع این دما برابر با میانگین دمای سیال و محیط است.

جریان لایه‌ای

ضریب اصطکاک و ناسلت محلی در حالتی که جریان سیالی روی یک صفحه با دمای یکنواخت جریان می‌یابد، به صورت زیر در نظر گرفته ‌می‌شود. با این فرض که رینلدز بحرانی برابر با 500000 باشد، می‌توان طول بحرانی (xcr) را با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد.

جریان توربولانس

ضریب اصطکاک و ناسلت محلی در مکان x، برای سیالی که روی یک سطح جریان دارد، با استفاده از رابطه زیر محاسبه می‌شود.

بنابراین مقادیر میانگین ناسلت و ضریب اصطکاک در مکان x به صورت زیر بدست می‌آیند.

لایه‌مرزی جریان لایه‌ای و توربولانس

فرض کنید سیالی روی یک صفحه جریان دارد. تصور کنید طول صفحه انقدر باشد که سیال از حالت لایه‌ای به توربولانس تبدیل شود؛ در این حالت ضریب اصطکاک و ضریب انتقال حرارت جابجایی میانگین را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:

با فرض این که مقدار بحرانی رینلدز برابر با 500000 باشد، عدد ناسلت و ضریب اصطکاک میانگین، به صورت زیر محاسبه می‌شوند.

معادلات بالا با این فرض حاصل شده که دمای صفحه یکنواخت باشد. با این حال در اکثر مواردی که دما متغیر باشد نیز می‌توانند کاربرد داشته باشند.

مثال 1

روغن موتور در دمای 60 درجه، روی یه سطح به طول 5 متر، دمای 20 درجه و با سرعت 2m/s جریان می‌یابد. (مطابق با شکل زیر)

nusselt-number

با فرض اینکه رینلدز بحرانی برابر با 500000 در نظر گرفته شود خواص روغن مفروض در دمای فیلم برابر هستند با:

propertices

از طرفی عدد رینلدز برای یک صفحه تخت به صورت زیر محاسبه می‌شود:

reynolds

توجه کنید که این مقدار بسیار کم‌تر از عدد بحرانی رینلدز است. با توجه به خواص سیال و دمای فیلم، ضریب اصطکاک و نیروی درگ ناشی از آن برابر هستند با:

Cf on flat

از طرفی عدد ناسلت و نهایتا انتقال حرارت را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد.

nusselts

جریان روی استوانه و کره

طول مشخصه یک لوله دایروی یا کره، همان قطر خارجی آن است. با این فرض، عدد رینلدز به صورت محاسبه می‌شود.

توجه داشته باشید که ریندلز بحرانی برای استوانه و کره برابر با 200000 است. در رینلدز‌های پایین (Re<4) سیال به طور کامل به جسم متصل است و پدیده جدایی هیچ‌گاه اتفاق نخواهد افتاد. این در حالی‌ است که در رینلدزهای بالاتر، جریان پس از اندکی چرخیدن روی استوانه (یا کره) از جسم جدا خواهد شد. پس از جدایی آن، گردابه‌ای در پشت جسم تشکیل می‌شود که افزایش نیروی درگ را در پی خواهد داشت. به نقطه‌ای که در آن جریان جدا می‌شود، نقطه جدایی (Seperation Point) گفته می‌شود.

seperation point

در طراحی اجسام پرنده‌ همچون هواپیماها تلاش بر این است تا جدایی در زاویه‌ای بیشتر اتفاق بیافتد چرا که دیرتر جدا شدن سیال، درگ کوچکتری را منجر می‌شود که مطلوب نظر طراحان است. نقطه جدایی در شکل‌های زیر نشان داده شده.

seperation-point

در حالتی که سیالی روی استوانه یا کره عبور می‌کند، زاویه جدایی جریان در حالت لایه‌ای برابر با 80 و در حالت توربولانس این زاویه معادل 140 درجه است. هم‌چنین ناسلت متوسط برای جریان عبوری روی استوانه توسط «چرچیل» (Churchill) و «برنشتاین» (Bernstein)، به صورت زیر ارائه شده.

در این فرمول خواص جایگذاری شده در دمای فیلم (Tf = (Ts + T∞)/2) هستند. «ویتاکر» (Whitaker) نیز رابطه زیر را به منظور محاسبه ناسلت جریان روی کره، ارائه می‌دهد.

این رابطه در رینلدزهای بین 3.5 تا 80000 و پرانتل بین 0.7 تا 380 صادق است. همچنین توجه داشته باشید که خواص جایگذاری شده در دمای T فرض شده و μs در دمای سطح در نظر گرفته می‌شود.

مثال 2

جریانی از هوا در دمای 23 درجه و با سرعت 10 متر بر ثانیه، روی کره‌ای از جنس مس با قطر 10 میلیمتر و با دمای 75 درجه عبور می‌کند. زمان مورد نیاز به منظور سرد شدن کره تا دمای 35 درجه چقدر است؟

flow over spehre

فرضیات:
1. دمای کره به صورت یکنواخت است.
2. از اثرات تابش صرف نظر شده.
خواص سیال و کره مفروض به شرح زیر هستند.

زمان مورد نیاز برای سردن شدن کره تا دمای 35 درجه با استفاده از مفهوم ظرفیت حرارتی و به صورت زیر قابل محاسبه است.

می‌توان از رابطه ویتاکر نیز به منظور محاسبه h حول کره استفاده کرد. بنابراین:

 در این حالت، رینلدز نیز به صورت زیر قابل محاسبه است.
 بنابراین ناسلت میانگین و ضریب انتقال حرارت جابجایی به صورت زیر بدست خواهند آمد.
 با جایگذاری ضریب بدست آمده در رابطه ظریف حرارتی، زمان مورد نیاز برای سرد شدن کره مفروض نیز حساب خواهد شد.






تاریخ : جمعه 97/5/26 | 9:27 صبح | نویسنده : مهندس سجاد شفیعی | نظرات ()

«تابش» (Radiation) عبارت است از انتقال حرارتی که از طریق امواج الکترومغناطیسی صورت می‌گیرد. از آنجایی که این امواج با سرعت نور منتقل می‌شوند،‌ بنابراین سرعت انتقال انرژی در این حالت نیز برابر با سرعت نور است. شاید به همین دلیل است که دستگاه مایکروویو غذا را با سرعت نور گرم می‌کند چرا که مکانیزم آن مبتنی بر انتقال حرارت تابشی است!

radiation-wave

ساختار یک موج الکترومغناطیسی

اولین بار مفهوم انتقال انرژی از طریق امواج الکترومغناطیسی توسط «جیمز کلارک ماکسول» (James Clerk Maxwell)، دانشمند اسکاتلندی مطرح شد. او نشان داد که انتقال انرژی نیز با سرعت نور اتفاق می‌افتد. معمولا امواج الکترومغناطیسی را بر اساس فرکانس و طول موجشان دسته‌بندی می‌کنند. ارتباط میان طول موج و فرکانس به صورت زیر است.

λ =c/ν

در رابطه بالا λ و ν به ترتیب برابر با طول موج و فرکانس هستند. هم‌چنین مقدار c سرعت نور را نشان می‌دهد که اندازه آن برابر با 108×2.99 متر بر ثانیه است. رابطه بالا نشان می‌دهد که طول موج و فرکانس رابطه‌ای عکس با یکدیگر دارند. در حقیقت بزرگ بودن یکی از آن‌ها کوچک بودن دیگری را معنی می‌دهد.

عدد بیان شده در بالا،‌ سرعت نور در خلا را نشان می‌دهد. واقعیت این است که این مقدار در محیط‌های مختلف متفاوت است. از این رو برای بدست آوردن سرعت نور در محیطی به جز خلا، از رابطه زیر استفاده می‌شود.

c = c0/n

در این رابطه n ضریب شکست محیطی است که میخواهیم سرعت نور را در آن بیابیم. برای هوا این ضریب را تقریبا برابر با 1 و برای آب 1.5 در نظر می‌گیرند. توجه داشته باشید که فرکانس یک موج الکترومغناطیسی فقط به منبع انتشار آن وابسته است و به بستری که در آن، موج منتشر می‌شود، ارتباطی ندارد.

واحد فرکانس برابر با سیکل در ثانیه است. جالب است بدانید که برای بسیاری از پدیده‌ها می‌توان از این مفهوم بهره برد. برای مثال همین الان که در حال خواندن این مطلب هستید، می‌توانید عددی تحت عنوان تعداد کلمات خوانده شده در ثانیه را تعریف کنید. این عدد در حقیقت فرکانس مطالعه شما است! فرکانس یک موج می‌تواند از چند سیکل در ثانیه تا میلیون‌ها سیکل در ثانیه متغیر باشد.

در ابتدای قرن بیستم، انیشتین نظریه جدیدی را در مورد انتشار امواج تابشی ارائه کرد. بر مبنای این تئوری، انتقال انرژی عبارت است از انتقال بسته‌هایی از انرژی، که «فوتون» (Photon) نامیده می‌شوند. برای هر کدام از این بسته‌ها می‌توان فرکانسی برابر با ν [تلفظ این نماد نو است] تعریف کرد. با توجه به فرکانس اختصاص داده شده به آن‌ها می‌توان گفت انرژی هر کدام از این بسته‌ها برابر با مقدار زیر است.

e = h×ν = hc/λ

در رابطه بالا h مقداری ثابت،‌ برابر با34-10×6.625 است که آن را «ثابت پلانک» (Planck’s constant) می‌نامند. توجه داشته باشید که همواره در این فرض مقادیر c و h اعداد ثابتی هستند. از این رو می‌توان گفت انرژی بسته‌ها یا همان فوتون‌ها، فقط به طول موج آن‌ها وابسته است. از رابطه بالا می‌توان فهمید که طول موج پایین‌تر به معنای انرژی بیشتر فوتون است. برای نمونه «امواج ایکس» (X-rays) و یا «گاما» (Gamma) دارای طول موج بسیار کمی هستند، از این رو دارای انرژی بالایی بوده و می‌توانند بسیار مخرب باشند.

radiation

شکل زیر طیفی از طول موج‌های مختلف را نشان می‌دهد. همان‌طور که در آن پیدا است، طول موج می‌تواند از 10-10 تا 1010 میکرومتر متغیر باشد. جالب است بدانید که امواج کیهانی کمترین طول موج و الکتریکی بیشتر طول موج را دارند.

wave-length

همان‌طور که در شکل مشخص شده، انتقال امواج حرارتی در طول موج بین 1-10 تا 102 اتفاق می‌افتد. علت اصلی انتقال حرارت به روش تابشی، حرکات دورانی و ارتعاشی مولکول‌ها،‌ اتم‌ها و الکترون‌ها است. در حقیقت مقدار دما برآیند این تحرکات را نشان می‌دهد. از این رو افزایش دما باعث افزایش نرخ انتقال حرارت تابشی می‌شود.

مفهومی که آن را با عنوان نور می‌شناسیم در حقیقت بخش مرئی از طیف الکترومغناطیسی است. شکل بالا نشان می‌دهد که طول موج نوری زیر مجموعه طول موج حرارتی است.

انتقال حرارت تابشی،‌ پدیده‌ای حجمی است. البته برای اجسام ماتی همچون فلزات، تابش به صورت سطحی اتفاق می‌افتد. توجه داشته باشید که مشخصه‌های تابشی یک سطح می‌تواند با روکش کردن آن با لایه‌های جدید، انجام شود.

تابش جسم سیاه

به جسمی که کامل‌ترین جذب کننده و ساطع کننده انرژی در یک طول موج خاص باشد، «جسم سیاه» (Black Body) گفته می‌شود. در یک دما و طول خاص هیچ‌ جسمی نمی‌تواند بیشتر از جسم سیاه انرژی ساطع کند. از نظر تئوری یک جسم سیاه،‌ انرژی را در تمامی جهات به طور یکنواخت جذب می‌کند. اما انرژی جذب شده، وابسته به جهت تابش موج رسیده به آن است.

میزان انرژی ساطع شده از یک جسم سیاه، در واحد زمان و در واحد سطح را می‌توان با استفاده از قانون استفان-بولتزمن (Stefan-Boltzman) محاسبه کرد.

radiation

قانون استفان بولتزمن

در رابطه بالا T دمای مطلق سطح جسم سیاه است که بر حسب کلوین بیان می‌شود. همچنین Eb را توان گسیل جسم سیاه می‌نامند. برای نمونه می‌توان یک محفظه بسته که دارای حفره‌ایی کوچک است را مدل‌سازی خوبی برای جسم سیاه دانست. توان تابشی جسم سیاه برابر با میزان انرژی ساطع شده از آن در واحد زمان،‌ سطح و طول موج است. این کمیت را با نماد Eنشان می‌دهند. قانون توزیع پلانک بیان می‌کند که برای چنین جسمی رابطه میان E با دما و طول موج به صورت زیر است.

planck-distribution

توجه داشته باشید که در واقعیت این رابطه برای محیط خلا و یا گاز صادق است. برای دیگر محیط‌ها می‌توان از C1/n2 به جای C1 استفاده کرد. n نیز همان ضریب شکست محیط است که در بالا به آن اشاره کردیم.

شکل زیر میزان انرژی ساطع شده از جسم سیاه را در دماها و طول‌ موج‌های مختلف نشان می‌دهد.

black-body

هم‌چنین طول موجی که در آن بیشترین تابش اتفاق می‌افتد را می‌توان با استفاده از «قانون جابجایی وین» (Wien’s displacement law)، از طریق رابطه زیر توصیف کرد.

radiation

با انتگرال‌گیری از این معادله در تمامی طول موج‌ها، می‌توان توانایی انتشار انرژی جسم سیاه را بر حسب دمای سطح آن و به صورت زیر بدست آورد.

radiation

معادله بالا فرض می‌کند که یک جسم سیاه در دمای ثابت T قرار گرفته و در تمامی طول موج‌های ممکن، انرژی ساطع کرده است. اما واقعیت این است که یک جسم خاص در بازه‌ای محدود از طول موج، انرژی ساطع می‌کند. برای این‌که مجبور نباشیم معادله بالا را به صورت عددی حل کنیم، مقداری بی‌بعد را تحت عنوان تابع تابش جسم سیاه تعریف می‌کنیم که با نماد fλ نشان داده می‌شود. این کمیت که تابعی از دما است را می‌توان با استفاده از انتگرال زیر محاسبه کرد.

radiation

کمیت بالا نشان دهنده کسری از انرژی است که در طول موج بین 0 تا λ از جسم سیاهی با دمای T ساطع می‌شود. با توجه به این‌که صورت رابطه مربوط به fλ به شکل انتگرالی است، می‌توان گفت:

radiation

در کتب مختلف مقدار کمیت بالا در طول موج‌های مختلف، محاسبه و جداولی برای آن ارائه شده است. برای نمونه جدول زیر مقدار fλ را در بازه بین 200 تا 2000 – میکرومتر.کلوین – ارائه داده است.

radiation

هم‌چنین در شکل زیر می‌توانید میزان انرژی ساطع شده در بازه λ1 تا λ2 را مشاهده کنید.

radiation

برای درک بهتر بیان بالا، به مثال ارائه شده در ادامه توجه فرمایید.

مثال 1

دمای تنگستن موجود در لامپ در حدود 2500 درجه کلوین است. با فرض جسم سیاه بودن تنگستن، میزان انرژی ساطع شده توسط سیم،‌ در طول موج مرتبط با نور مرئی چقدر است؟

طول موج نور مرئی در بین 0.4 تا 0.76 میکرومتر است. از این رو در ابتدا بایستی حاصلضرب λT را محاسبه کرد، سپس مقدار fλ مرتبط با آن را از جدول بالا خواند. بنابراین می‌توان به ترتیب زیر عمل کرد.

radiation

مقدار بالا نشان می‌دهد که تنها 5 درصد از کل انرژی تابشی ساطع شده از سیم تنگستن در بازه نور مرئی است. در واقع نوری که ما از لامپ می‌بینیم، 5 درصد کل انرژی ساطع شده از لامپ است.

ثوابت تابشی

جسم سیاه می‌تواند مرجع خوبی برای بررسی مشخصه‌های تابشی یک سطح واقعی باشد.

گسیلندگی

به نسبت انرژی ساطع شده توسط یک سطح به انرژی ساطع شده توسط جسم سیاه که در دمایی یکسان قرار گرفته‌اند، «گسیلندگی» (Emissivity) گفته می‌شود که با ε نشان داده می‌شود. واضح است که این مقدار همواره بین صفر و یک قرار می‌گیرد. این کمیت به ما نشان می‌دهد که خواص تابشی یک سطح واقعی به چه میزان به جسم سیاه نزدیک است [ضریب گسیلندگی برای جسم سیاه برابر با یک است]. از تعریف ارائه شده برای این مقدار پیدا است که می‌توان این عدد را با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد.

radiation

رابطه بالا گسیلندگی کلی یک سطح را نشان می‌دهد. اما در بعضی از تحلیل‌ها از توانایی گسیلش سطح، در یک طول موج خاص استفاده می‌شود. در چنین شرایطی می‌توان از مفهوم گسیلندگی طیفی بهره برد. گسیلندگی سطحی را با نماد ελ نشان می‌دهند و مقدار آن با استفاده از رابطه زیر قابل محاسبه است.

radiation

توجه داشته باشید که در هر دو مفهوم بالا دمای سطح واقعی و جسم سیاه برابر هستند. در رابطه بالا  (Eλ(T توانِ تابشِ طیفی یک جسم سیاه است. در شکل زیر این مفهوم در قالب نمودار نشان داده شده. همان‌طور که در آن می‌بینید، توان تابشی یک سطح واقعی همواره کمتر از جسم سیاه است.

مقایسه توان تابشی جسم سیاه و جسم واقعی که در دمای یکسانِ T قرار دارند.

مشخصه‌های تابشی یک سطح

نرخ انتقال حرارت تابشی به ویژگی‌های فیزیکی سطح نیز وابسته است. از این رو، به منظور سادگی محاسبات مربوط به تابش، سطوح مختلف در دسته‌‌بندی‌های زیر قرار می‌گیرند.

سطح پخش‌کننده: به سطحی که خواص تابشی آن مستقل از جهت انتشار امواج باشد.

سطح خاکستری: به سطحی گفته می‌شود که خواص تابشی آن مستقل از طول موج تابش است.

ضریب انتشار یک سطح خاکستری را می‌توان با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد.

radiation

ضریب انتشار معرفی شده در معادله بالا به شدت به دمای T وابسته است.

جذب، بازتاب و شفافیت یک سطح

به میزان انرژی تابشی که به یک سطح می‌رسد، «پرتوافکنی» (Irradiation) گفته می‌شود که با نماد G نشان می‌دهند.

جذب (α): نسبت انرژی جذب شده به انرژی تابیده شده به یک سطح

بازتاب (ρ): نسبت انرژی بازتاب شده به کل انرژی تابشی وارد شده به سطح

شفافیت: نسبت انرژی عبوری به کل انرژی وارد شده به سطح

تشعشع خروجی (J): عبارت است از نسبت انرژی ساطع شده به کل انرژی وارد شده به یک سطح

می‌توان خصوصیات ارائه شده در بالا را در قالب زیر بیان کرد:

radiation

با استفاده از قانون اول ترمودینامیک می‌دانیم که مجموع انرژی‌های جذب شده، بازتاب شده و منتقل شده از سطح بایستی برابر با کل انرژی ورودی به آن باشد. از این رو می‌توان این قانون را به شکل زیر بیان کرد:

radiation

با تقسیم عبارت بالا به G، رابطه میان ضرایب بیان شده برای یک سطح، به شکل زیر بدست می‌آید.

radiation

در شکلی که در ادامه آمده، هر کدام از این انرژی‌ها، به تفکیک نشان داده شده است.

تابش

برای یک سطح مات مقدار τ برابر با صفر است. از این رو معادله بالا به شکل زیر در می‌آید.

surface-radiation

توجه داشته باشید که تعاریف ارائه شده در بالا در تمامی جهات و تمامی فرکانس‌ها صادق هستند. ما هم‌چنین می‌توانیم این خواص را بر اساس خواص طیفی آن‌ها بیان کنیم. برای نمونه می‌توان G را به شکل زیر نوشت.

radiation

توجه کنید که ضریب جذبی α مستقل از دمای سطح است و به شدت به دمای منبعی وابسته است که امواج تابشی از سمت آن می‌آید. برای نمونه ضریب جذبی سقفی که از بتن باشد، نسبت به تابش خورشید برابر با 0.6 است. اما این ضریب نسبت به تابشی که از محیط اطراف می‌آید، برابر با 0.9 است.

قانون شُهف

مطابق شکل زیر یک محفظه و یک سطح را در نظر بگیرید که در دمای یکنواخت T قرار گرفته‌اند.

تابش

با فرض این‌که محفظه مفروض در تعادل ترمودینامیکی باشد می‌توان کل انرژی رسیده به آن را به صورت زیر نوشت.

radiation

در این حالت میزان انرژی ساطع شده از آن نیز برابر با مقدار زیر است.

radiation

از آنجایی که جسم مفروض در تعادل ترمودینامیکی است بنابراین انرژی وارده شده و خارج شده از آن با یکدیگر برابر هستند. از این رو می‌توان گفت:

radiation

با توجه به رابطه بالا نتیجه مهم زیر حاصل می‌شود.

radiation

رابطه بالا بیان می‌کند که انرژی تابیده شده توسط یک سطح که در دمای T قرار گرفته، برابر است با کل انرژی تابشی جذبی که از جسم سیاهی با دمای T دریافت کرده است.

این قانون را می‌توان به فرمت طیفی،‌به شکل زیر نشان داد.

radiation

تابش خورشیدی

به انرژی خورشیدی که به سطح اتمسفر زمین می‌رسد، ثابت خورشیدی گفته می‌شود که برابر با مقدار زیر است.

radiation

با توجه به این که مدار چرخش زمین به دور خورشید، بیضی‌گون است،‌ مقدار ثابت خورشیدی در سال به میزان 3.4± درصد تغییر می‌کند. این عدد بسیار اندک است،‌ از این رو مقدار تابش را تقریبا ثابت فرض می‌کنند.

سوال: به نظر شما چطور می‌توان با توجه به معلوم بودن ثابت خورشیدی، دمای سطح خورشید را یافت.

از آنجایی که بین خورشید و اتمسفرِ زمین ماده‌ای وجود ندارد، بنابراین تمامی انرژی ساطع شده از سطح خورشید به اتمسفر زمین می‌‌رسد. در نتیجه با فرض کردن خورشید به عنوان جسم سیاه ‌می‌توان دمای موثر سطح آن را یافت. بخشی از انرژی دریافت شده، توسط اتمسفر جذب شده و بخش دیگری از آن پراکنده می‌شود.

پخش شدن و بازتاب انرژی دریافت شده توسط اتمسفر، مقداری از ثابت خورشیدی را کم می‌کند.

ضریب دید

میزان انتقال حرارت تابشی بین دو صفحه، علاوه بر خواص تابشی دو سطح، به زاویه آن‌ها نسبت به یکدیگر نیز مرتبط است. بدین منظور در انتقال حرارت تابشی از مفهومی تحت عنوان ضریب دید استفاده می‌شود. این عدد فقط به شرایط هندسی دو سطح وابسته است. در محاسبات مربوط به ضریب دید، فرض می‌شود که انتقال حرارت تابشی به صورتی کاملا یکنواخت در تمامی سطح اتفاق می‌افتد. هم‌چنین فرض بر این است که فضای میان سطوح، انرژی مبادله شده میان دو سطح را جذب و یا منعکس نمی‌کند.

  • Fij برابر است با نسبت انرژی برخورد کرده به سطح j به انرژی ساطع شده از سطح i. با توجه به تعریف، می‌توان گذاره‌های زیر را بیان کرد:
  • ضریب دیدِ سطوح، بین 0 و 1 قرار دارند.
  • 0=Fij به این معنی است که دو سطح یکدیگر را نمی‌بینند. از طرفی 1=Fij به معنای این است که سطح j به طور کامل سطح i را پوشانده است.
  • حرارت تابشی‌ که به سطحی برخورد می‌کند، نیاز نیست الزاما توسط سطح مذکور جذب شود.
  • Fii عبارت است از نسبت انرژی ساطع شده توسط یک سطح،‌ به انرژی دریافت شده توسط همان سطح. از این رو برای سطوح تخت و محدب این ضریب برابر با صفر و برای سطوح مقعر این مقدار می‌تواند غیرصفر باشد. در شکل زیر مفهوم Fii نشان داده شده. همان‌طور که می‌بینید این مقدار ممکن است برای یک سطع مقعر غیرصفر باشد.

radiation

قوانین مربوط به محاسبه ضریب دید

در حالتی که انتقال حرارت تابشی بین N سطح اتفاق می‌افتد، به محاسبه N2 ضریب دید نیازمند هستیم. البته ممکن است یافتن تمامی ضرایب نیاز نباشد،‌ چراکه با استفاده از روابط زیر می‌توان با معلوم بودن چند ضریب، بقیه ضرایب را نیز محاسبه کرد.

قانون عکس ضرایب

می‌توان نشان داد که رابطه بین ضریب Fij و Fji به صورت زیر است.

radiation

قانون جمع

در تحلیل مسائل مربوط به تابش، معمولا سطحی کاملا بسته را در نظر می‌گیریم. قانون پایستگی انرژی می‌گوید تمامی انرژی تولید شده توسط سطوح، به یکدیگر برخورد می‌کنند. از این رو برای مجموعه‌ای که سطح بسته‌ای را تشکیل می‌دهند، می‌توان رابطه زیر را نوشت.

radiation

از طرفی رابطه بالا را می‌توان برای i از 1 تا N نوشت. در نتیجه این عبارت نشان‌دهنده N معادله است. از طرفی قانون عکس ضرایب نیز 2/(N(N-1 معادله را به ما می‌دهد. بنابراین تعداد ضرایبی که برای چنین سیستمی بایستی محاسبه شود، برابر با عدد زیر است.

radiation

مثال 2

ضرایب F12 و F21 را برای شکل‌های زیر بیابید.

1. کره‌ای به قطر D که در جعبه‌ای مکعبی به طول L=D قرار گرفته است.

2. صفحه‌ موربی که درون لوله‌ای با مقطع مربعی قرار گرفته.

radiation

پاسخ مربوط به شکل 1

در شکل 1 تمامی انرژی که توسط کره ساطع می‌شود، توسط جعبه جذب می‌شود. بنابراین 1 = F12 است. با استفاده از قانون عکس ضرایب و قانون جمع، می‌توان گفت:

radiation

پاسخ مربوط به شکل 2

با استفاده از قانون جمع می‌توان گفت:

radiation

انرژی‌ از سطح شماره 1 به خودش برخورد نمی‌کند، بنابراین در معادله بالا می‌توان F11 را برابر با صفر فرض کرد. هم‌چنین با توجه به تقارن موجود در مسئله می‌توان رابطه زیر را بیان کرد:

radiation

با حل دو معادله بالا مقادیر F12 و F13 برابر با 0.5 بدست می‌آیند. با یافت شدن F12 و استفاده از قانون عکس ضرایب می‌توان F21 را به شکل زیر محاسبه کرد.

radiation

جذابیت اصلی انرژی تابشی به این دلیل است که مدلی از انتقال انرژی را ارائه می‌دهد که به وجود ماده‌ای نیاز ندارد. در حقیقت اگر انتقال انرژی به این روش وجود نداشت، احتمالا زمین یخ زده بود!

«استیون هاوکینگ» (Stephen William Hawking)، دانشمند بریتانیایی، در دهه 1970 نظریه‌ای تحت عنوان «تابش هاوکینگ» (Hawking Radiation) ارائه کرد. او میزان انرژی تابشی ساطع شده از یک سیاه‌چاله و هم‌چنین نتایج آن را توضیح داد. این نظریه نشان می‌دهد که یک سیاهچاله می‌تواند از طریق تابش جرمش را تا حدی از دست بدهد که نهایتا از بین برود.

Hawking-radiation






تاریخ : جمعه 97/5/26 | 9:26 صبح | نویسنده : مهندس سجاد شفیعی | نظرات ()

«تنش موثر» (Effective Stress)، نیرویی است که مجموعه‌ای از ذرات را به صورت صلب در کنار یکدیگر نگه می‌دارد. این نیرو معمولاً در موادی نظیر شن، ماسه یا خاک مشاهده می‌شود. در این مقاله، شما را با مفهوم تنش موثر آشنا خواهیم کرد.

در صورتی که تعدادی سکه را بین انگشتان خود قرار دهید و به آن‌ها فشار وارد کنید، سکه‌ها در کنار یکدیگر باقی می‌مانند. اگر فشار بین انگشتان خود را کاهش دهید، سکه‌ها از هم جدا می‌شوند و در آستانه افتادن قرار می‌گیرند. به همین ترتیب، ذرات یک تپه شنی نیز مانند یک مایع در کنار یکدیگر قرار دارند و از هم جدا نمی‌شوند. در واقع، وزن این شن‌ها ذرات را در آرایش فعلی‌شان و کنار یکدیگر نگه می‌دارد. این وزن و فشار همان تنش موثر است.

تنش موثر با اعمال نیروهای اضافی به راحتی تغییر می‌کند. این مسئله در هنگام قدم زدن بر روی تپه‌های شنی کاملاً مشهود است. از این‌رو، در مطالعه پایداری شیب و روانگرایی خاک (مخصوصاً در هنگام زلزله)، عامل مهم تنش موثر باید در نظر گرفته شود.

«کارل فون ترزاقی» (Karl von Terzaghi)، یکی از مشهورترین مهندسین عمران و ژئوتکنیک جهان که به پدر مکانیک خاک نیز معروف است، اولین رابطه محاسبه تنش موثر را در سال 1925 ارائه کرد. واژه موثر برای ترزاقی، به معنای تنشی بود که بر روی حرکت خاک یا ایجاد جابجایی‌ها تأثیر داشت. این تعریف، تنش میانگین اعمال شده به اسکلت خاک را نشان می‌دهد.

تنش موثر (‘σ) اعمال شده بر روی یک خاک، با استفاده از دو پارامتر تنش کل (σ) و فشار آب منفذی (u) به صورت زیر محاسبه می‌شود:

σ=σu

معمولاً در مثال‌های ساده، پارامترهای بالا توسط روابط زیر به دست می‌آیند:

σ=Hsoilγsoilu=Hwγw

Hsoil: ارتفاع خاک؛ γsoil: چگالی خاک؛ Hw: ارتفاع سطح آب زیرزمینی؛ γw: چگالی آب

همانند مفهوم تنش، این فرمول نیز ساختاری برای تجسم نیروهای اعمال شده بر یک توده خاک، مخصوصاً برای مدل‌های ساده تحلیل پایداری شیب به همراه یک سطح لغزش را ارائه می‌کند. در این مدل‌ها، دانستن وزن خاک بالای سطح لغزش (به همراه آب) و فشار آب منفذی درون سطح (با فرض اعمال فشار به صورت یک لایه محصورشده) اهمیت بالایی دارد. با این وجود، رابطه تنش موثر هنگام در نظر گرفتن رفتار واقعی ذرات خاک در شرایط مختلف پیچیده‌تر می‌شود زیرا هیچ یک از پارامترهای این رابطه مستقل نیستند.

مجموعه‌ای از شن و ماسه‌های کروی کوارتز را در نظر بگیرید که آزادانه و با آرایشی همانند شکل زیر در کنار یکدیگر قرار گرفته‌اند. در شکل زیر، یک تنش تماسی در نواحی اتصال کره‌ها قابل مشاهده است (نواحی پر رنگ). اگر تعداد کره‌ها بیشتر شود، تنش‌های تماسی نیز افزایش می‌یابند. این افزایش تا هنگام ایجاد یک ناپایداری اصطکاکی (اصطکاک دینامیک) و احتمالاً شکست ادامه خواهد داشت. پارامتر مستقل تأثیرگذار بر روی ناحیه تماس (نرمال و برشی) بین کره‌ها، نیروی کره‌های بالایی است. این پارامتر را می‌توان با استفاده از چگالی میانگین مجموعه کره‌ها و ارتفاع کره‌های بالایی محاسبه کرد.

آرایش کره‌ها و نحوه اتصال آن‌ها

آرایش کره‌ها و نحوه اتصال آن‌ها

اگر کره‌ها را همانند شکل زیر درون یک بِشِر قرار دهیم و آن را با مقداری آب پر کنیم، ذرات با توجه به چگالی‌شان شروع به شناور شدن درون آب می‌کنند (خاصیت شناوری). خاصیت شناوری در مواد تشکیل شده از خاک طبیعی بسیار قابل توجه‌تر از دیگر مواد است. به عنوان مثال، در هنگام بلند کردن یک قطعه سنگ بزرگ درون آب، تأثیر این خاصیت به خوبی مشاهده می‌شود. تنش تماسی بین کره‌ها تا رسیدن آب به بالاترین نقطه مجموعه کاهش می‌یابد اما پس از این نقطه و با اضافه کردن آب بیشتر دیگر هیچ تغییری در تنش تماسی رخ نخواهد داد. در این وضعیت، فشار آب بین کره‌ها (فشار آب منفذی) بیشتر می‌شود اما تنش موثر ثابت باقی می‌ماند زیرا مفهوم تنش کل با وزن آب بالای کره‌ها در ارتباط است. این مسئله، مفهوم تنش موثر را پیچیده‌تر می‌کند. برای محاسبه این تنش در هر نقطه می‌توان از چگالی شناوری کره‌ها (خاک) و ارتفاع کره‌های بالایی استفاده کرد.

غوطه‌ور شدن کره‌ها

غوطه‌ور شدن کره‌ها در آب باعث کاهش تنش موثر می‌شود.

در شرایط وجود فشار آب منفذی غیر هیدرو استاتیک، مفهوم تنش موثر بسیار جالب‌تر می‌شود. هنگام وجود گرادیان فشار منفذی، آب زیرزمینی بر اساس معادله نفوذپذیری یا همان «قانون دارسی» (Darcy’s Law) جریان می‌یابد. در مدل‌های کروی، این مسئله مشابه ورود یا خروج آب بین کره‌ها است. در صورت ورود آب، نیروی نَشت در جهت جدایش کره‌ها و کاهش تنش موثر عمل می‌کند. بنابراین، توده خاک ضعیف‌تر می‌شود. در صورت خروج آب، کره‌ها به یکدیگر نزدیک‌تر می‌شوند و تنش موثر افزایش می‌یابد.

ورود آب بین کره‌ها

ورود آب بین کره‌ها و کاهش تنش موثر

دو پیامد مهم وجود فشار آب منفذی غیر هیدرو استاتیک عبارت است از:

  • «ماسه روان» (Quicksand): در این پدیده گرادیان آب زیرزمینی و نیروی نَشت در خلاف جهت جاذبه عمل می‌کنند.
  • «اثر قلعه شنی» (Sandcastle Effect): در این وضعیت، زهکشی آب و اثر مویینگی باعث تقویت شِن می‌شوند.

در مجموع، تنش موثر نقش مهمی در پایداری شیب و دیگر مسائل مهندسی ژئوتکنیک و زمین‌شناسی مهندسی نظیر نشست‌های مرتبط با آب زیرزمینی دارد. امیدواریم این مقاله برایتان مفید واقع شده باشد.






تاریخ : جمعه 97/5/26 | 9:25 صبح | نویسنده : مهندس سجاد شفیعی | نظرات ()

«پلاستیسیته جریان» (Flow plasticity)، یکی از تئوری‌های موجود در مکانیک جامدات است که به توصیف رفتار پلاستیک در مواد مختلف می‌پردازد. تئوری‌های پلاستیسیته جریان بر مبنای فرضیات قانون جریان شکل گرفته‌اند. این فرضیات به منظور تعیین تغییر شکل پلاستیک مواد مورد استفاده قرار می‌گیرند.

در تئوری‌های پلاستیسیته جریان، فرض می‌شود که امکان تجزیه کرنش کل در یک جسم را به صورت حاصل جمع یا ضرب یک بخش الاستیک و یک بخش پلاستیک وجود دارد. بخش الاستیک کرنش از طریق مدل‌های الاستیک خطی یا هایپرالاستیک قابل محاسبه است. اگرچه، برای تعیین بخش پلاستیک کرنش باید از یک قانون جریان و یک مدل سخت‌شوندگی استفاده کرد.

تئوری تغییر شکل کوچک

منحنی تنش-کرنش زیر را در نظر بگیرید. در این منحنی، نمونه‌ای از رفتار پلاستیک معمول مواد تحت فشار نمایش داده شده است. کرنش در این منحنی را می‌توان به دو بخش کرنش الاستیک قابل بازگشت (εe) و کرنش غیر الاستیک (εp) تجزیه کرد. تنش در نقطه تسلیم اولیه، σ0 است. برای موادی با خاصیت سخت‌شوندگی کرنش، با افزایش تغییر شکل پلاستیک، مقدار تنش تسلیم تا مقدار σy افزایش می‌یابد.

تئوری‌های پلاستیسیته معمول (برای تغییر شکل‌های کوچک با پلاستیسیته کامل یا پلاستیسیته سخت‌شوندگی)، بر اساس قواعد زیر توسعه یافته‌اند:

  1. ماده دارای یک محدوده الاستیک خطی است (E).
  2. ماده دارای یک حد الاستیک است (تنش σ0 که در آن تغییر شکل پلاستیک شروع می‌شود).
  3. پس از حد الاستیک، حالت تنش همیشه بر روی سطح تسلیم قرار خواهد داشت (σ=σy).
  4. به حالتی که میزان افزایش تنش بیش‌تر از صفر باشد (dσ>0)، بارگذاری گفته می‌شود. در صورتی که بارگذاری باعث رسیدن حالت تنش به محدوده پلاستیک شود، افزایش کرنش پلاستیک همیشه بیشتر از صفر خواهد بود (p>0).
  5. به حالتی که افزایش میزان تنش کوچک‌تر از صفر باشد (dσ<0)، باربرداری گفته می‌شود. در حین باربرداری، ماده دارای رفتار الاستیک است و هیچ کرنش پلاستیکی درون آن رخ نمی‌دهد.
  6. کرنش کل، یک ترکیب خطی از بخش‌های الاستیک و پلاستیک کرنش است (dε=dεe+dεp). بخش پلاستیک کرنش قابل بازگشت نیست؛ در صورتی که بخش الاستیک به طور کامل بازیابی می‌شود.
  7. کار انجام شده در طی چرخه بارگذاری-باربرداری، مثبت یا صفر است (dσ*dε=dσ*(dεe+dεp)≥0). این قاعده با عنوان «اصل پایداری دراکر» (Drucker Stability Postulate) نیز شناخته می‌شود و احتمال وجود رفتار نرم شوندگی کرنش را حذف می‌کند.

قواعد بالا در فضای سه‌بعدی را می‌توان به صورت زیر تعریف کرد:

D: ماتریس سختی با مقدار ثابت است.

  • حد الاستیک (سطح تسلیم): حد الاستیک توسط سطح تسلیمی تعریف می‌شود که به کرنش پلاستیک وابسته نیست. رابطه کلی حد الاستیک به صورت است:

  • محدوده پس از حد الاستیک: برای سنگ‌هایی که دارای خاصیت سخت‌شوندگی کرنش هستند، سطح تسلیم با افزایش کرنش پلاستیک توسعه می‌یابد و محل حد الاستیک تغیر می‌کند. توسعه سطح تسلیم دارای فرم کلی زیر است:

  • بارگذاری: تعمیم شرط dσ>0 به فضای سه‌بعدی، مخصوصاً برای خاصیت پلاستیسیته سنگ‌ها کار ساده‌ای نیست. پلاستیسیته سنگ‌ها، علاوه بر تنش انحرافی به تنش میانگین نیز وابسته خواهد بود. با این وجود، در حین بارگذاری f≥0 و فرض می‌شود که جهت‌گیری کرنش پلاستیک با بردار نرمال سطح تسلیم (f/∂σ∂) یکسان است و p≥dσ. یعنی:

صفر بودن معادله بالا، حالت بارگذاری خنثی را نمایش می‌دهد. در این نوع بارگذاری، حالت تنش در امتداد سطح تسلیم حرکت می‌کند، بدون اینکه تغییری در کرنش پلاستیک ایجاد شود.

  • باربرداری: مبحث باربرداری نیز مشابه بارگذاری است. در اینجا برای f<0، ماده در محدوده الاستیک قرار می‌گیرد و رابطه زیر برقرار است:

  • تجزیه مؤلفه‌های کرنش: تجزیه مؤلفه‌های کرنش به حاصل جمع بخش‌های کرنش الاستیک و پلاستیک به صورت زیر نوشته می‌شود:

  • اصل پایداری: اصل پایداری توسط رابطه زیر بیان می‌شود:

قانون جریان

در پلاستیسیته فلزات، فرض یکسان بودن جهات اصلی افزایش کرنش پلاستیک و تانسور تنش انحرافی توسط رابطه‌ای به نام «قانون جریان» (Flow Rule) نمایش داده می‌شود. تئوری‌های مرتبط با پلاستیسیته سنگ‌ها نیز از مفهوم مشابه ای بهره می‌گیرند. با این تفاوت که وابستگی سطح تسلیم به پارامتر فشار به یک «آسایش» (Relaxation) نیاز دارد. به جای این کار، معمولاً فرض می‌شود که افزایش کرنش پلاستیک و بردار نرمال سطح تسلیم وابسته به فشار، دارای جهت یکسانی هستند. به عبارت دیگر:

dλ>0، پارامتر سخت‌شوندگی را نشان می‌دهد. این فرم از قانون جریان با عنوان «قانون جریان همراه» (Associated Flow Rule) و فرض یکسان بود جهات با عنوان «شرط نرمال بودن» (Normality Condition) شناخته می‌شود. به تابع f، «تابع پتانسیل پلاستیک» (Plastic Potential Function) نیز می‌گویند.

قانون بالا برای تغییر شکل‌های کاملاً پلاستیک در شرایط dσ=0 و p≥0 به سادگی تعمیم داده می‌شود. در این حالت، سطح تسلیم در هنگام افزایش تغییر شکل پلاستیک ثابت باقی می‌ماند. با توجه به قانون هوک، این موضوع بر صفر بودن میزان افزایش کرنش الاستیک (e=0) دلالت خواهد داشت. بنابراین داریم:

و

از این‌رو، بردار نرمال سطح تسلیم و تانسور کرنش پلاستیک بر تانسور تنش عمود هستند و در نتیجه باید جهت یکسانی داشته باشند. برای موادی با خاصیت کرنش سخت‌شوندگی، امکان گسترش سطح تسلیم با افزایش تنش وجود دارد. بر اساس فرضیه دوم پایداری دراکر، برای یک چرخه تنش بسیار کوچک، کرنش تغییرات پلاستیک مثبت خواهد بود. به عبارت دیگر:

کمیت بالا در چرخه‌های کاملاً الاستیک برابر با صفر است. به منظور تصدیق اعتبار قانون جریان همراه می‌توان کار انجام شده در طی یک چرخه بارگذاری-باربرداری پلاستیک را مورد ارزیابی قرار داد.

شرط سازگاری

«شرط سازگاری پراگر» (Prager Consistency Condition) به منظور بستن مجموعه معادلات مشخصه و حذف پارامتر مجهول از دستگاه معادلات مورد استفاده قرار می‌گیرد. با توجه به این شرط، به دلیل f(σ,εp)=0 در نقطه تسلیم df=0 خواهد بود و به این ترتیب داریم:

تئوری تغییر شکل بزرگ

تئوری‌های پلاستیسیته مرتبط با تغییر شکل بزرگ معمولاً با یکی از فرضیات زیر شروع می‌شوند:

  • تجزیه تانسور نرخ تغییر شکل به حاصل جمع دو بخش الاستیک و پلاستیک
  • تجزیه گرادیان تغییر شکل به حاصل ضرب دو بخش الاستیک و پلاستیک

فرض اول، کاربرد گسترده‌ای در شبیه‌سازی‌های عددی فلزات داشت اما فرض دوم به مرور جای آن را گرفت.

سینماتیک پلاستیسیته در رویکرد ضرب مؤلفه‌ها

مفهوم تجزیه ضربی گرادیان تغییر شکل به دو بخش الاستیک و پلاستیک، برای اولین بار توسط «بی. اِی بیلی» (B. A. Bilby) و «اکهارت کرونر» (Ekkehart Kröner) برای پلاستیسیته بلورها ارائه شد و توسط «اراسموس لی» (Erasmus Lee) برای پلاستیسیته محیط‌های پیوسته تعمیم یافت. در این تجزیه فرض می‌شود که گرادیان تغییر شکل کل (F) را می‌توان به صورت حاصل ضرب زیر نوشت:

Fe: بخش الاستیک تغییر شکل (برگشت‌پذیر)؛ Fp: بخش پلاستیک تغییر شکل (برگشت‌ناپذیر)

گرادیان سرعت به صورت تعیین می‌شود:

اندیس نقطه (.) بر روی پارامترها، بیانگر مشتق نسبت زمان است. معادله بالا را می‌توان به شکل زیر نوشت:

که در آن:

به کمیت Lp، گرادیان سرعت پلاستیک شناخته می‌گویند. این کمیت، در یک پیکربندی واسط (ناسازگار) عاری از تنش تعریف می‌شود. بخش متقارن (Dp) در کمیت Lp، نرخ پلاستیک تغییر شکل و بخش پادمتقارن (Wp) در این کمیت، چرخش پلاستیک نام دارد.

معمولاً در اکثر تعاریف پلاستیسیته محدود از بخش چرخش پلاستیک صرف نظر می‌شود.

رفتار الاستیک

رفتار الاستیک در حالت کرنش محدود معمولاً توسط مدل رفتاری هایپرالاستیک بیان می‌شود. در این شرایط می‌توان کرنش الاستیک را با استفاده از یک تانسور تغییر شکل کوشی-گرین تعریف کرد:

به این ترتیب، رابطه تانسور کرنش لگاریتمی به صورت زیر نوشته می‌شود:

یکی از معیارهای رایج در پلاستیسیته محدود، «تانسور تنش ماندل» (Mandel Stress Tensor) است که به صورت زیر تعریف می‌شود:

S، پارامتر تنش پیولا-کیرشهف مرتبه دوم است. رابطه زیر، یکی از مدل‌های هایپرالاستیک احتمالی با توجه به کرنش لگاریتمی را نشان می‌دهد:

W: تابع چگالی انرژی کرنشی؛ J: دترمینان گرادیان تغییر شکل؛ μ: مدول برشی؛ dev: بخش انحرافی تانسور

قانون جریان

در هنگام عدم حضور چرخش پلاستیک می‌توان از «نامساوی کلازیوس-دوهم» (Clausius-Duhem Inequality) برای تعیین قانون جریان کرنش محدود استفاده کرد:

شرایط بارگذاری-باربرداری

شرایط بارگذاری-باربرداری را می‌توان به صورت برابر با «شرایط کاروش-کون-تاکر» (Karush-Kuhn-Tucker Conditions) نمایش داد:

شرط سازگاری

شرط سازگاری در تغییر شکل بزرگ همانند شرط سازگاری در کرنش کوچک است:






تاریخ : جمعه 97/5/26 | 9:24 صبح | نویسنده : مهندس سجاد شفیعی | نظرات ()

در ترمودینامیک، آنتالپی به معنای انرژی کل سیستم است. این عدد نشان دهنده کمیتی مقداری است که انرژی حرارتی کل یک سیستم را نشان می‌دهد. برای سیستمی با حجم V و فشار P، آنتالپی برابر با مجموع انرژی درونی سیستم و حاصلضرب فشار در حجم آن است. در بسیاری از تحلیل‌های ترمودینامیکی، حاصلضرب فشار p در حجم v ظاهر می‌شود؛ به این خاطر است که این خاصیت را به صورت مجزا در نظر می‌گیرند.

معمولا در سیستم‌های شیمیایی، بیولوژیکی و یا فیزیکی، آنتالپی را به عنوان خاصیتی می‌بینند که در فرآیندی فشار ثابت اندازه‌گیری می‌شود. در جداول ترمودینامیکی در کنار فشار، دما و دیگر خواص، مقدار آنتالپی نیز ذکر می‌شود.

در فرآیندی که به صورت فشار ثابت اتفاق می‌افتد می‌توان مجموع انتقال حرارت و کار صورت گرفته با محیط را برابر با تغییرات آنتالپی سیستم دانست.

آنتالپی چه نوع کمیتی است؟

آنتالپی به عنوان کمیتی مقداری شناخته می‌شود. این جمله به معنی آن است که آنتالپی به مقدار ماده موجود در یک سیستم وابسته است. همانند انرژی، واحد آنتالپی نیز ژول است. در حقیقت اگر انرژی‌های جنبشی و پتانسیل یک سیستم را از انرژی کل کم کنیم، مقدار باقی مانده انرژی حرارتی سیستم است که همان آنتالپی نامیده می‌شود.

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد،‌ کمیت آنتالپی را با حرف H نمایش می‌دهند؛ بنابراین تغییرات آنتالپی یک سیستم برابر با H2-H1 است. البته از نظر ریاضیاتی، آنتالپی را می‌توان به شکل‌های مختلفی نشان داد؛ مرسوم‌ترین روش محاسبه آنتالپی به صورت زیر است.

enthalphy

در رابطه بالا Cp ظرفیت حرارتی در فشار ثابت و α ضریب انبساط حرارتی در فشار ثابت است. با توجه به این‌که در گاز ایده‌آل حاصلضرب αT برابر با یک است، بنابراین رابطه بالا را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد.

enthalphy

برای درک بهتر مفهوم آنتالپی توجه شما را به مثال زیر جلب می‌کنیم.

مثال 1: پیستون بدون اصطکاک

مطابق شکل زیر سیستم سیلندر پیستونی، بدون اصطکاک را فرض کنید که حاوی بخاری با فشار ثابت 500 کیلوپاسکال است. با فرض اینکه در حالت اولیه، حجم و دمای سیلندر به ترتیب برابر با 2m3 و 500 کلوین باشد. دمای نهایی سیستم را پس از انتقال انرژی 3000 کیلوژول به آن، به دست آورید.

enthalphy

در ابتدا بایستی آنتالپی ویژه سیستم را در فشار 500 کیلوپاسکال و دمای 500 کلوین تعیین کنید. آنتالپی ویژه در این دما و فشار برابر با 2912kJ/kg

بدست می‌آید [این مقدار از جدول حالت‌های ترمودینامیکی مواد خوانده می‌شود]. از آنجایی که چگالی بخار در این دما و فشار برابر با 2.2kg/m3

است، با ضرب کردن آن در حجم V مقدار جرم بخار موجود در سیلندر برابر با 4.4 کیلوگرم بدست می‌آید. با بدست آمدن جرم موجود در سیلندر، می‌توان با ضرب کردن آن در آنتالپی ویژه، آنتالپی مطلق سیستم را نیز در این دما و فشار بدست آورد. بنابراین آنتالپی مطلق برابر است با:

enthalphy

با استفاده از معادله Q = H2 − H1 می‌توان آنتالپی نهایی سیستم را به شکل زیر بدست آورد.

enthalphy

با بدست آمدن آنتالپی بخار پس از انتقال انرژی، به جدول مربوط به خواص ترمودینامیکی مراجعه می‌کنیم و دمای معادل با این آنتالپی را از جدول می‌خوانیم. با انجام این کار دمای بخار در حالت نهایی برابر با 555k

بدست می‌آید.

برای چالش بیشتر می‌توانیم کار انجام داده شده توسط سیستم را نیز محاسبه کنیم. برای این کار در ابتدا بایستی حجم سیلندر را پس از انتقال انرژی محاسبه کنیم. در بالا گفتیم که بخار موجود در سینلدر را به صورت گاز ایده‌آل فرض کرده‌ایم. هم‌چنین با توجه به این‌که فشار سیلندر در حالت اولیه و نهایی با یکدیگر برابر هستند، بنابراین نسبت تغییرات T و V نیز با یکدیگر برابر خواهند بود. در نتیجه می‌توان نوشت:

enthalphy

با استفاده از رابطه بالا می‌توان حجم ثانویه را به صورت زیر محاسبه کرد.

enthalphy

با بدست آمدن حجم ثانویه، میزان افزایش حجم سیلندر را می‌توان به صورت زیر بدست آورد.

enthalphy

در بالا بیان کردیم که میزان کار انجام شده در فشار ثابت و برای یک گاز، برابر با حاصلضرب تغییرات حجم در فشار گاز است. در نتیجه میزان کار انجام شده در این مثال برابر است با:

enthalphy

مفهوم آنتالپی ویژه

می‌توان با تقسیم مقدار آنتالپی کل یک سیستم به جرم آن، مفهومی تحت عنوان آنتالپی ویژه تعریف کرد. در مبحث آنتروپی نیز مفهومی مشابه را تحت عنوان آنتروپی ویژه تعریف کردیم. در حقیقت این مفهوم، به نسبت خود آنتالپی در ترمودینامیک کاربردی بیشتر دارد.

آنتالپی ویژه h را می‌توان بر حسب آنتالپی کل H به صورت زیر تعریف کرد.

enthalphy

در معادله بالا h ,H ,m به ترتیب جرم، آنتالپی کل و آنتالپی ویژه سیستم هستند. توجه داشته باشید که آنتالپی کمیتی شدتی است که انرژی حرارتی یک سیستم را نشان می‌دهد. این در حالی است که آنتالپی ویژه یک سیستم برابر با حاصل جمع انرژی داخلی ویژه یک سیستم و حاصلضرب فشار در حجم است. از این رو فرمول عمومی آنتالپی ویژه به شکل زیر است.

enthalphy

در حالت کلی همچون فشار یا دما، آنتالپی نیز خاصیتی از سیستم است؛ اما تفاوت این خاصیت این است که نمی‌توان آن را به صورت مستقیم اندازه گرفت. معمولا آنتالپی یک سیستم را با استفاده از مقداری مرجع تعریف و اندازه‌گیری می‌کنند. برای نمونه آنتالپی آب یا بخار را نسبت به آنتالپی آب در دمای 0.01 درجه و فشار اتمسفر اندازه‌گیری می‌کنند. در حقیقت در این دما و فشار، آنتالپی آب را برابر با صفر در نظر می‌گیرند.

آنتالپی در واکنش‌های شیمیایی

از مفاهیم آنتالپی به شکل گسترده‌ای در شیمی نیز مورد استفاده قرار می‌گیرد. معمولا فرآیند‌های شیمیایی را از دیدگاه قانون اول و دوم ترمودینامیک بیان می‌کنند. در ترمودینامیک به مجموع انرژی‌های سیستم به جز پتانسیل و جنبشی، «انرژی درونی» (Internal Energy) گفته می‌شود. هم‌چنین آنتالپی یک واکنش شیمیایی برابر با تغییر آنتالپی هریک از اجزای تشکیل‌ دهنده فرآیند است.

از آنجایی که اکثر واکنش‌های شیمیایی به صورت فشار ثابت رخ می‌دهند، بنابراین می‌توان مفهوم تغییر آنتالپی را در یک واکنش نیز تعریف کرد. معمولا این تغییر را تحت عنوان «آنتالپی واکنش» (Reaction Enthalpy) می‌شناسند. آنتالپی یک واکنش، بسته به نوع آن می‌تواند مثبت، منفی و یا صفر باشد. مثبت یا منفی بودن آنتالپی واکنش به گرماده یا گرماگیر بودن آن وابسته است.

آنتالپی تبخیر

در حالت کلی زمانی که در فرآیندی، یک ماده دچار تغییر فاز می‌شود، بخشی از انرژی سیستم صرف تغییر فاز مذکور می‌شود. برای نمونه ظرفی را حاوی مقداری آب تصور کنید که در حال حرارت دادن به آن هستیم. بدیهی است که در این فرآیند دمای آب درون ظرف افزایش می‌یابد. پس از گذشت زمانی، آب موجود در ظرف شروع به بخار شدن می‌کند. با اندازه‌گیری متوجه می‌شویم که دمای آب در این حالت ثابت است.

بنابراین با ثابت بودن دما، این سوال مطرح می‌شود که انرژی حرارتی اضافه شده به سیستم صرف چه چیزی می‌شود؟ پاسخ این است که حرارت اضافه شده به آن، صرف تغییر فاز آب می‌شود. در این حالت انرژی اضافه شده به سیستم را «آنتالپی تبخیر» می‌نامند. به این‌گونه انرژی‌ها «نهان» نیز گفته می‌شود.

برای نمونه گرمای نهانِ تبخیر آب در فشار 0.1 مگاپاسکال برابر با مقدار زیر است:

آنتالپی

همین‌ مقدار در فشار 3 مگاپاسکال برابر است با:

enthalphy

گرمای تبخیر عبارت است از میزان گرمایی که به منظور تبخیر شدن کاملِ مایع نیاز است. این مقدار را می‌توان با استفاده از فرمول زیر توصیف کرد.

enthalphy

جالب است که با افزایش فشار سیال، مقدار گرمای نهان تبخیر آن کم می‌شود. نمودار زیر آنتالپی آب در دماها و فشار‌های مختلف را نشان می‌دهد.

enthalphy

برای دیگر تغییر فاز‌ها نیز می‌توان از این مفهوم استفاده کرد. برای نمونه به میزان انرژی مورد نیاز جهت ذوب کردن یک جرم، گرمای نهان ذوب ماده مذکور گفته می‌شود که می‌توان آن را با استفاده از فرمول زیر توصیف کرد.

enthalphy

امیدواریم مفهوم آنتالپی را به خوبی درک کرده باشید چرا که در آینده و در مطلب حالت‌های ترمودینامیکی مواد از آن استفاده خواهیم کرد. البته به‌منظور درک عمیق‌تر، بایستی مثال‌های بیشتری از این مفهوم حل کنید.






تاریخ : جمعه 97/5/26 | 9:23 صبح | نویسنده : مهندس سجاد شفیعی | نظرات ()

انتگرال‌گیریِ جزء به جزء از روش‌هایی است که در محاسبه انتگرال توابعی که در یکدیگر ضرب شده‌اند، بسیار کاربرد دارد. در این مطلب در ابتدا فرمول انتگرال‌گیری جزء به جزء را بیان می‌کنیم. فارغ از این‌ که این فرمول برای شما گیج‌کننده باشد یا نه، باید بگوییم پس از حل چندین مثال که در ادامه آن آمده، حتماً این مفهوم را به خوبی هضم خواهید کرد.

محاسبه انتگرال به روش جزء به جزء

دو تابع (u(x و (v(x را فرض کنید. تصور کنید می‌خواهیم انتگرال تابع (u(x)v(x را بدست آوریم. انتگرال این تابع را می‌توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد.

integral-by-parts

اجازه دهید هم‌چون فیلم‌های سینمایی به عقب برگردیم و داستان به‌دست آمدن این فرمول‌ را روایت کنیم. برای این منظور دو تابع (u(x و (v(x را فرض کنید. از مطلب ارائه شده در مورد مشتق می‌دانیم که مشتق تابع (u(x)v(x برابر با عبارت زیر است.

product-derivative

عبارتِ دومِ سمتِ راستِ معادله بالا را به سمت چپ منتقل می‌کنیم؛ با انجام این کار رابطه بالا به شکل زیر قابل بازنویسی است.

product-derivative-2

حال از طرفین این رابطه انتگرال می‌گیریم. همان‌طور که می‌دانیم، انتگرالِ مشتقِ یک تابع، برابر با خود تابع است. بنابراین می‌توان نوشت:

integral-by-parts-1.GIF

در نتیجه با انتگرال‌گیری از رابطه بالا به فرمول نهایی ارائه شده می‌رسیم.

بنابراین می‌توان گفت:

integral-by-parts.GIF

رابطه (*)

البته فرمول بالا را می‌توان با روشی آسان‌تر و به صورت زیر پیاده کرد.

integral-by-parts-2.GIF

رابطه (**)

بنابراین به منظور محاسبه یک انتگرال به روش جزء به جزء در ابتدا بایستی توابع f و g را به نحوی انتخاب کرد که انتگرال توابع f و gf قابل محاسبه باشند. سپس با جایگذاری این مقادیر در معادله بالا به راحتی انتگرال تابع fg بدست می‌آید.

مثال‌ها

شاید در ابتدا فرمول بالا کمی مشکل به نظر برسد. از این رو به شما پیشنهاد می‌کنیم تا مثال‌های زیر را مطالعه فرمایید. به یاد داشته باشید که مهم‌ترین قدم در محاسبه یک انتگرال، انتخاب مناسب توابع f و g هستند. برای نمونه فرض کنید بخشی از تابع زیر انتگرال از عبارت sin(x)x

تشکیل شده. واضح است که اگر شما این تابع را به عنوان f در نظر بگیرید، دیگر امکان محاسبه F (که همان انتگرال f است) وجود نخواهد داشت.

مثال 1

حاصل انتگرال xex را بیابید.

فرض کنید می‌خواهیم با استفاده از رابطه ** این انتگرال را حل کنیم. با فرض کردن دو تابع x و ex به عنوان g و f می‌توان نوشت:

integral-by-parts-3

مثال 3

پاسخ انتگرال تابع (xcos(x را با استفاده از روش جزء به جزء بدست آورید.

توجه داشته باشید که همواره f و g را به شکلی در نظر بگیرید، که امکان محاسبه انتگرال تابع gf وجود داشته باشد. البته تابع f را نیز بایستی به نحوی در نظر گرفت که بتوانیم انتگرال آن را محاسبه کنیم. در این مثال x و (cos(x را به ترتیب برابر با g و f در نظر می‌گیریم. از این رو با جایگذاری این دو تابع در فرمول ** داریم:

integral-by-parts-4.GIF

می‌توان در حالت کلی گفت که تابع ساده‌تر را بایستی به عنوان g در نظر گرفت. برای نمونه در این مثال x را به عنوان تابع g در نظر گرفته‌ایم. مثال 4 به درک بهتر انتخاب f و g کمک می‌کند.

مثال 4

حاصل عبارت xln(x)dx,

را بیابید.

در این مثال به نظر می‌رسد که اگر x را به عنوان f در نظر بگیریم، F که همان انتگرال f است، راحت‌تر محاسبه شده و انتگرال تابع gf را نیز می‌توان راحت‌تر یافت. از این رو x را برابر با f و (ln(x را برابر با g فرض می‌کنیم. بنابراین با توجه به فرض صورت گرفته می‌توان نوشت:

integral-by-parts-5.GIF

توجه داشته باشید که در بعضی از موارد ممکن است نیاز باشد با دو بار استفاده از روش جزء به جزء، حاصل انتگرال را بدست آورد. در مثال 5 نمونه‌ای از چنین مثالی آورده شده است.

مثال 5

پاسخ x2sin(x)dx

را بدست آورید.

همان‌طور که کمی بالاتر بیان کردیم، معمولا در محاسبه یک انتگرال به روش جزء به جزء بهتر است که تابع ساده‌تر را به عنوان g در نظر بگیریم. در نتیجه در این مثال تابع g را برابر با x2 در نظر می‌گیریم؛ بنابراین (sin(x نیز معادل با f است. همانند مثال‌های قبلی با استفاده از فرمول ** داریم:

integral-by-parts-6.GIF

همان‌طور که می‌بینید برای محاسبه پاسخ این مثال به عبارت xcos(x)dx

می‌رسیم. پاسخ این عبارت در مثال 3 محاسبه شد. از این رو با جایگذاری پاسخ مثال 3 در رابطه بالا، جواب نهایی به صورت زیر یافت می‌شود.

integral-by-parts-7.GIF

شاید با خود فکر کرده باشید که چرا به جای 2c از c استفاده کرده‌ایم. باید توجه داشته باشید که مشتق یک عدد ثابت همواره صفر است بنابراین هر مقدار ثابتی به جای c قرار گیرد، صحیح است.

حال وقت آن رسیده تا کمی خود را محک بزنید. مثال پیش‌رو اندکی دشوار‌تر از مثال‌های قبلی است.

مثال 6

انتگرال تابع xx+1

را بیابید.

همان‌طور که بیان شد، در ابتدا تابع ساده‌تر را برابر با g در نظر بگیرید و چک کنید که آیا با این فرض، مسئله قابل حل است؟ بنابراین در این مثال تابع g را برابر با x و تابع f را برابر با x+1

در نظر می‌گیریم. در بالا بیان کردیم که F همان انتگرال تابع f است. با توجه به مفاهیم ارائه شده در مطلب روش‌های محاسبه انتگرال، قانون توان در محاسبه یک انتگرال را به صورت زیر بیان کردیم:

integral-by-parts-10.GIF

با استفاده از قانون توان، انتگرال تابع (x+1)1/2

،‌ به شکل زیر محاسبه می‌شود.

جزء به جزء

حال با بدست آمدن F می‌توان از فرمول ** به شکل زیر استفاده کرد.

integral-by-part.jpg

مسلط شدن به این روش منوط به حل مثال است. در این روش نکته مهم انتخاب توابع f و g مناسب است.






تاریخ : جمعه 97/5/26 | 9:20 صبح | نویسنده : مهندس سجاد شفیعی | نظرات ()

در مطلب جریان‌ تراکم‌پذیر عددی بی‌بعد تحت عنوان ماخ را معرفی کردیم. در بخش مذکور نشان دادیم که رابطه‌ای میان تراکم‌پذیری سیالِ در حال حرکت و عدد ماخ وجود دارد. در حقیقت در بخش‌های مختلفی از علوم، خصوصا فیزیک کلاسیک از اعدادی بی‌بعد استفاده می‌شود که می‌توان با استفاده از آن‌ها پدیده را توصیف کرد. در این مطلب قصد داریم تا  عددی بی‌بعد تحت عنوان «رینولدز» (Reynolds) را معرفی کنیم.

رینولدز عددی بی‌بعد در مکانیک سیالات است که الگوی جریان در حال حرکت را توصیف می‌کند. رینولدزِ اندک نشان‌دهنده جریان لایه‌ای و رینولدز بالا جریان «توربولانس» (Turbulence) را نشان می‌دهد. مفهوم کم و زیاد بودن عدد رینولدز را در ادامه بیان خواهیم کرد.

تعریف

عدد رینولدز نشان دهنده نسبت نیروهای اینرسی به نیروهای ویسکوز است که به دلیل حرکت سیال به وجود می‌آیند. از آنجایی که توربولانس و یا لایه‌ای بودن جریان وابسته به این نیرو‌ها است، از این رو با استفاده از عدد رینولدز می‌توان رژیم (لایه‌ای یا توربولانس بودن) یک جریان را تعیین کرد. اگر در یک سیال در حال حرکت، نیروهای اینرسی غالب باشند، به احتمال زیاد جریان مد نظر توربولانسی است. عکس این مورد، اگر نیروهای لزجت در یک سیال غالب باشند، سیال به صورت لایه‌ای حرکت می‌کند. با توجه به مفاهیم عنوان شده در بالا عدد رینولدز (Re) را می‌توان به صورت زیر تعریف کرد.

reynolds

برای نمونه مطابق با شکل زیر لیوان آبی را در نظر بگیرید که به صورت ساکن قرار گرفته است. به این سیستم فقط نیروی گرانش وارد می‌شود. بنابراین صورت کسر رابطه بالا صفر است. در حالتی دیگر تصور کنید که لیوان را خالی کنیم. در این حالت با توجه به این‌که سیال در حال حرکت است، از این رو ذرات آن دارای تکانه هستند. در نتیجه نیرویی اینرسی در سیستم وجود دارد که منجر به غیرصفر شدن رینولدز می‌شود.

glass-of-water

تاریخچه

نظریه استفاده از عدد بی‌بعد به‌منظور رصد کردن الگوی جریان، برای اولین بار توسط «جرج استوکس» (Sir George Stokes)، دانشمند ایرلندی ارائه شد. او در آزمایشی که می‌خواست نیروی درگ  را حول یک کره اندازه‌گیری کند، به این نتیجه رسید که با استفاده از عددی بی‌بعد می‌توان الگوی جریان عبوری روی آن را تعیین کرد. او با استفاده از مطالعاتی که توسط «ناویر» (Navier) انجام شده بود و با اضافه کردن عبارت‌های مرتبط با نیروی ویسکوز، توانست به معادلاتی برسد که انقلابی در فیزیک کلاسیک محسوب می‌شود.

در سال 1883، رینولدز،‌ دانشمند ایرلندی عددی بی‌بعد را معرفی کرد که می‌توانست الگوی جریان را معلوم کند. او متوجه شد که این عدد به خواص استاتیکی و دینامیکی سیال، هم‌چون سرعت، چگالی، ویسکوزیته دینامیکی و … وابسته است. بنابراین آزمایشاتی را به‌منظور فهمیدن دقیق این رابطه انجام داد. برای این منظور سیستمی را مطابق با شکل زیر طراحی کرد. این سیستم به این صورت بود که لوله‌ای نازک که حاوی سیالی رنگی بود در یک لوله اصلی محتوی آب، قرار داده شد. سپس سیال رنگی درون آب به جریان در می‌آمد. بنابراین امکان دیدن حرکت سیال فرآهم می‌شد.

Reynolds

با توجه به آزمایش انجام شده، او توانست عددی بی‌بعد را تعریف کند که الگوی جریان وابسته به آن است.

استخراج عدد رینولدز

همان‌گونه که در بالا نیز بیان شد، با استفاده از این عدد می‌توان تعیین کرد که جریان با توجه به چه الگویی حرکت می‌کند. از آنجایی که این عدد نسبت نیروهای اینرسی به نیروهای برشی را نشان می‌دهند، بنابراین می‌توان گفت:

Reynolds

عبارت‌های استفاده شده در بالا به ترتیب زیر هستند:

  • (ρ (kg/m3: چگالی سیال
  • (V (m/s: سرعت سیال
  • (L (m: طول مشخصه سیال
  • (ν (m2/s: ویسکوزیته سینماتیکی سیال

همان‌طور که مشاهده می‌کنید با جایگذاری واحد‌های اجزا تشکیل دهنده عدد رینولدز، می‌بینید که این عدد، بی‌بعد است. البته در به دست آوردن رینولدز یک جریان می‌توان به جای ویسکوزیته سینماتیکی، با استفاده از تبدیل زیر از ویسکوزیته دینامیکی نیز بهره برد.

ν=μρ

سیال، جریان و عدد رینولدز

روش محاسبه رینولدز با توجه به تراکم‌پذیر بودن سیال، تغییر پذیری ویسکوزیته (سیال غیرنیوتونی)، داخلی و یا خارجی بودن جریان متفاوت است. رینولدز بحرانی عددی است که در آن جریانِ سیال شروع به توربولانس شدن می‌کند. این مقدار در حالت‌های مختلفِ جریان، متفاوت است. به عنوان مثال برای جریانی که در لوله حرکت می‌کند، رینولدز بحرانیش برابر با 2300 است؛ یا این‌که برای حالتی که سیالی روی یک سطح تخت جریان دارد، مقدار رینولدز بحرانی بین 105 تا 106 است.

Reynolds

عدد رینولدز هم‌چنین می‌تواند توصیف دقیقی را از لزجت ارائه دهد. از این رو درک حالت سیال در هر لحظه بسیار مهم است. منظور از جمله قبل، این است که بدانیم جریان را به چه صورت بایستی فرض کرد. برای نمونه بدانیم که جریان داخلی، خارجی، گذرا و یا تراکم پذیر است؟ در هر یک از حالات ذکر شده مفهوم و حتی محاسبه عدد رینولدز معنای خاص خود را دارد. در ادامه به بررسی این عدد در سیالات نیوتنی می‌پردازیم. به سیالاتی نیوتنی گفته می‌شود که در آن‌ها رابطه میان تنش برشی و گرادیان سرعت به صورت خطی است. هم‌چنین در این سیالات ویسکوزیته ثابت است و تنها تابعی از دمای سیال است.

محاسبه رینولدز در حالت‌های مختلف

در حالت کلی رژیم جریان به دو دسته تقسیم‌بندی می‌شود: «لایه‌ای» (Laminar) و «توربولانس» (Turbulent). البته اگر بخواهیم درست‌تر بیان کنیم، حالت سومی نیز وجود دارد که به آن گذرا گفته می‌شود. این حالت زمانی اتفاق می‌افتد که بخشی از جریان به صورت لایه‌ای و بخشی دیگر به صورت توربولانس است.

جریان داخلی

به جریانی که درون لوله حرکت می‌کند، جریان داخلی می‌گویند. رینولدز‌های بحرانی برای چنین جریانی در جدول زیر بیان شده‌اند.

reynolds

در حالتی که جریانی در یک کانال بسته و یا در لوله حرکت می‌کند، عدد رینولدز وابسته به قطر هیدرولیکی لوله (DH) و طول آن (L) است. هم‌چنین در حالتی که لوله به صورت استوانه‌ای باشد، قطر هیدرولیکی آن در واقع همان قطر لوله است. بنابراین در این حالت عدد رینولدز به صورت زیر محاسبه می‌شود.

Reynolds

در حالتی که مقطع لوله به صورت دایره‌ای نباشد، می‌توان با استفاده از رابطه زیر قطر هیدرولیکی لوله را محاسبه کرد.

Reynolds

در معادله بالا A برابر با مساحت سطح مقطع لوله و P محیط تر شده است. در شکل‌های زیر قطر هیدرولیکی برای چند مقطع مختلف آورده شده‌اند.

Hydraulic-Diameter

از دیگر عواملی که در توربولانس شدن جریان درون لوله موثر است، میزان اصطکاک سطح لوله با جریان خواهد بود. «نمودار مودی» (Moody Chart) میزان توربولانسی جریان را بر حسب عدد رینولدز و زبری سطحِ لوله، نشان می‌دهد. این نمودار روشی عملی به منظور محاسبه افت فشارِ جریان سیالی است که درون لوله حرکت می‌کند. اگر توجه داشته باشید در نمودار زیر ناحیه‌های توربولانس و لایه‌ای بر حسب ضریب اصطکاک و رینولدز جریان نشان داده شده‌اند.

moody-diagram-flow

جریان خارجی

به جریانی که روی اجسام به حرکت در می‌آید، جریان خارجی گفته می‌شود. برای نمونه جریان روی یک صفحه تخت، جریان روی کره یا سیلندر همگی از نوع جریان‌های خارجی هستند. در سال 1914 «لودویگ پرانتل» (Ludwig Prandtl)، دانشمند آلمانی مفهوم لایه‌مرزی را ارائه کرد. او دریافت که لایه‌مرزی به رینولدز و شکل سطح وابسته است. در شکل زیر جریانی را روی سطحی تخت نشان می‌دهد. در نقطه xc جریان شروع به توربولانس شدن می‌کند.

Transition

شکل زیر جریان خارجی را روی یک ایرفویل نشان می‌دهد. همان‌طور که می‌بینید این جریان در ابتدا لایه‌ای سپس گذرا و نهایتا به یک جریان توربولانس تبدیل شده است. دلیل این امر متفاوت بودن عدد رینولدز در هر کدام از این نقاط است.

Reynolds

در حالت کلی با حرکت جریان رو به جلو، سیال منبسط و البته ناپایدارتر می‌شود. این ناپایداری منجر به افزایش رینولدز شده و نهایتا توربولانس شدن جریان را در پی دارد. رینولدز بحرانی برای جریان روی سطح بایستی بیشتر از مقدار زیر باشد.

Reynolds

رینولدزهای بالا و پایین

در روش‌های عددی حل شده برای معادله ناویر-استوکس، عدد رینولدز نیز ظاهر می‌شود. شکل ساده شده معادله ناویر-استوکس که تحت عنوان معادله اویلر شناخته می‌شود، به صورت زیر است.

Reynolds

در معادله بالا ρ برابر با چگالی و u و p به ترتیب برابر با سرعت و فشار هستند؛ همچنین e نشان دهنده انرژی داخلی ویژه سیال است. توجه داشته باشید که اثرات لزجت در مدل‌سازی سیال بسیار مهم هستند. با این وجود در بعضی از موارد می‌توان از مدل سیال غیرلزج به‌منظور شبیه‌سازی سیال بهره برد. برای نمونه در حالت جریان خارجی با سرعت بالا، می‌توان معمولا از مدل سیال غیرلزج بهره برد.

از طرفی زمانی که Re?1 (بسیار بسیار کم‌تر از 1) باشد، اثرات اینرسی را می‌توان در معادله ناویر-استوکس حذف کرد. به ورژنی از معادله ناویر-استوکس که در رینلدز پایین نوشته می‌شود، جریان استوکس گفته می‌شود. بنابراین در حالتی که رینولدز جریان کم باشد،‌ معادله ناویر-استوکس به شکل زیر در می‌آید.

Reynolds

در معادله بالا u سرعت سیال، p∇ گرادیان فشار و μ لزجت سیال را نشان می‌دهند. از جریان استوکس می‌توان به منظور مدل‌سازی جریان ماگمای آتشفشانی، حرکت میکرو ارگانیز‌م‌ها و یا جریان پلمیر استفاده کرد.

کاربردهای عدد رینولدز

 تحلیل عددی جریان سیال، مبتنی بر مدل‌های ریاضیاتی ارائه شده است. شکل بی‌بعد شده این معادلات، اعداد بی‌بعد را نیز در دل خود خواهند داشت. این مدل‌ها با استفاده از آزمایش و قوانین بدست آمده‌اند. به‌منظور تحلیل عددی یک پدیده سیالاتی بایستی مدل ریاضیاتی را به نحوی انتخاب کرد که قابلیت مدل‌سازی دامنه حل را داشته باشد. در تمامی این مدل‌ سازی‌ها عدد رینولدز نقش به‌سزایی را در معادلات ایفا می‌کند. برای نمونه حرکت گلیسیرین را در لوله‌ای با مقطع دایره‌ای در نظر بگیرید. با فرض این‌که خواص سیال را داشته باشیم، می‌توان رژیم آن را به شکل زیر تعیین کرد.

در اولین قدم بایستی خواص سیال مفروض را داشته باشیم. جدول زیر این خاصیت‌ها را نشان می‌دهد.

Reynolds

قدم بعدی، محاسبه رینولدز به شکل زیر است.

Reynolds

عدد بدست آمده کمتر از 2300 است، از این رو می‌توان این جریان را به صورت لایه‌ای در نظر گرفت.

این عدد مفهومی عمومی در مکانیک سیالات است که در بسیاری از مباحث مرتبط با حرکت سیال ظاهر خواهد شد.






تاریخ : جمعه 97/5/26 | 9:19 صبح | نویسنده : مهندس سجاد شفیعی | نظرات ()

ه‌منظور درک نیروی آیرودینامیکی تصور کنید که در حال رانندگی هستید و دست چپتان را بیرون از پنجره خودرو قرار داده‌اید. بدیهی است که در این حالت جریان هوا را حس می‌کنید که دستتان را به عقب هل می‌دهد. در حقیقت مولکول‌های هوا به دست شما و در خلاف جهت مسیر حرکت خودرو نیرو وارد می‌کنند. به این نیرو، «درگ» (Drag) – یا پسا – گفته می‌شود.

drag

معمولا در سیستم‌های آیرودینامیکی با این نوع از نیرو برخورد می‌کنیم. در حالت کلی نمی‌توان گفت که وجود داشتن چنین نیرویی بد خواهد بود، اما معمولا عاملی در بازدارندگی اجسام است.

در فیزیک و در محاسبات آیرودینامیکی این نیرو را با نماد D نشان می‌دهند. برای محاسبه نیروی درگ وارد بر جسمی که در سیالی در حال حرکت است، می‌توان از فرمول زیر استفاده کرد.

drag

در معادله بالا C برابر با «ضریب درگ» (Drag Coefficient) است که وابسته به سرعت حرکت جسم در سیال است. به‌طور کلی ضریب درگ به شکل هندسی سطح و ویژگی‌های فیزیکی سیال همچون لزجت و چگالی وابسته است. معمولا ضریب C بین 0.4 تا 1 قرار دارد. در معادله بالا ρ برابر با چگالی سیال است. از طرفی ν برابر با سرعت نسبی جسم نسبت به سیال است.

بسیار مهم است که بدانید عدد A برابر با تصویر سطح مقطع در راستای عمود بر جریان است. در شکل زیر مفهوم A به تصویر کشیده شده.

drag

سقوط آزاد

مسئله سقوط آزاد با نیروی درگ در ارتباط است. طبق فرمول بیان شده در بالا، نیروی درگ با افزایش سرعت جسم بایستی زیاد شود. این حقیقت را می‌توان هنگامی مشاهده کرد که چترباز‌ها از هواپیما به بیرون می‌پرند. پس از پرش مراحل زیر اتفاق می‌افتد.

  1. افزایش سرعت شخص به‌دلیل وارد شدن نیروی گرانش به او
  2. زیاد شدن نیروی درگ به دلیل افزایش سرعت چترباز
  3. برابری نیروی درگ و گرانش و در نتیجه ثابت ماندن سرعت سقوط

drag

به راحتی می‌توان درک کرد که چرا با بیشتر بودن وزن از نیروی درگ، سرعت جسم زیاد می‌شود. قانون دوم نیوتن را در این حالت می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

W-D=ma

در معادله بالا W ،a ،m و D  به ترتیب برابر با جرم، شتاب، وزن و درگ هستند.

در شکل زیر دو نیروی گرانش و درگِ وارد شده به یک چترباز نشان داده شده.

درگ

مثال 1

فرض کنید چتربازی به جرم m از هواپیمایی به بیرون می‌پرد. با فرض این‌که ضریب درگ وارد شده به او برابر با C باشد، بیشترین سرعت سقوط شخص، چقدر است؟

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، با برابر شدن نیرو‌های درگ و وزن، شتابی به شخص وارد نشده و سرعت او ثابت می‌ماند. بنابراین در مدت زمانی پس از سقوط و پس از برابر شدن دو نیرو، می‌توان نوشت:

W=mg=D

با جایگذاری معادله مربوط به نیروی درگ در رابطه بالا داریم:

drag

در رابطه بالا vt برابر با سرعت حدی جسم در زمان سقوط است. با حل این معادله، سرعت مجهول vt بدست می‌آید.

drag

برای مثال تصور کنید وزن چتربازی 70 کلیوگرم است. با فرض این‌که ضریب درگ وارد شده به او برابر با 0.4 باشد، بیش‌ترین سرعت شخص پس از خارج شدن از هواپیما چقدر است؟ سطح مقطع بدن او که در معرض جریان هوا قرار می‌گیرد، برابر با 1.11 متر مربع در نظر بگیرید.

drag

این سرعت معادل با 200 کیلومتر در ساعت است.

مثال بالا نمونه‌ای بسیار ساده از محاسبه و استفاده نیروی درگ در مسائل فیزیکی است؛ اما واقعیت این است که این ضریب در حالت کلی متغیر است و معمولا مقدار آن را در شرایط مختلف، در آزمایشگاه اندازه‌گیری می‌کنند. در ادامه ضریب درگ چند شکل مختلف بیان شده.

drag shapes

همان‌طور که در بالا نشان داده شده، ضریب درگ برای پوسته‌ای به شکل نیم‌کره برابر با 1.4 است. در مثال زیر از این ضریب استفاده می‌کنیم.

مثال 2

در مثال 1، شخص پس از 15 دقیقه سقوط، تصمیم می‌گیرد تا چتر خود را باز کند. با فرض این‌ که مساحت چتر او برابر با 200 متر مربع باشد، چترباز با چه سرعتی به زمین می‌رسد؟

در بالا توضیح دادیم که پس از مدتی سقوط نیروی وزن و درگ وارد به شخص با هم برابر شده و سرعت او را ثابت نگه می‌دارد. پس از باز شدن چتر، ضریب درگ افزایش یافته و نیروی بیشتری رو به بالا، به شخص وارد می‌شود. بنابراین چترباز با سرعتی بسیار اندک به زمین می‌رسد. می‌توان گفت این مثال از مواردی است که از نیروی درگ استفاده مفید می‌شود.

Drag

چتر مفروض را می‌توان تقریبا به عنوان پوسته‌ای نیم‌کره‌ای شکل تصور کرد. با داشتن مساحت، ضریب درگ و وزن شخص، سرعت او را در لحظه برخورد با زمین می‌توان به شکل زیر محاسبه کرد.

drag

در ادامه مراحل رخ داده در مثال 1 و 2، در قالب انیمیشن نشان داده شده. همان‌طور که می‌بینید با برابر شدن نیروهای درگ و وزن، شتاب شخص صفر شده بنابراین سرعتش زیادتر نخواهد شد.

drag

عوامل ایجاد درگ

در حالت کلی نیروی درگ را می‌توان به دو بخش فشاری و برشی تقسیم‌بندی کرد. در حقیقت برای هر جسمی که در جریان قرار می‌گیرد، این دو مقدار به صورت جدا محاسبه شده و مجموع تاثیرات آن‌ها را به عنوان درگ کلی جسم در نظر می‌گیرند.

درگ ناشی از فشار

بخش عمده‌ای از درگ، فشار وارد شده به جسمی است که در سیالی غوطه‌ور حرکت می‌کند. به طور دقیق‌تر زمانی که جریانی از سیال روی جسمی عبور کند، در بخشی از مسیر، مولکول‌های سیال متراکم‌تر و در بخشی دیگر رقیق‌تر هستند. از این رو نیروهای وارد شده به بخش‌های مختلف یک جسم متفاوت بوده و در نتیجه برآیند کلی نیروهای ناشی از فشار مولکول‌های هوا نیز متفاوت خواهد بود.

pressure-drag

در اَشکال بالا درگ ناشی از فشار روی دیسک، کره و ایرفویل (یا همان جسم آیرودینامیکی) نشان داده شده. همان‌طور که می‌بینید از بالا به پایین میزان اختلاف فشار وارد شده به دو سر اجسام مفروض، کاهش می‌یابد. برای نمونه در دیسک، لایه‌های جریان در پشت آن بیشتر با یکدیگر فاصله دارند از این رو فشار کمتری در پشت آن وجود دارد. با ثابت فرض کردن فشار جریانِ ورودی دیسک، با کاهش فشار در پشت آن، اختلاف فشار جلو و پشت جریان زیاد‌تر شده و منجر به درگ بیشتری می‌شود. این در حالی است که برای ایرفویل فاصله‌ لایه‌ها در پشت و جلوی آن تقریبا یکسان هستند بنابراین درگ کمتری به ایرفویل وارد می‌شود.

درگ ناشی از نیروی برشی

جریان سیال را می‌توان به شکل لایه‌هایی از مولکول در نظر گرفت که روی یکدیگر میلغزند. از این رو در هنگام عبور سیال روی جسم، لایه‌های نزدیک‌تر به جسم دارای سرعت کمتری هستند، تا جایی که دقیقا روی مرز، سرعت سیال صفر است. این اختلاف سرعت منجر به ایجاد نیرویی اصطکاکی می‌شود که لایه‌ها به یکدیگر وارد می‌کنند. در حقیقت مولفه‌ای از این نیرو که در راستای جریان است، بخشی از درگ را تشکیل می‌دهد.

shear-drag

در شکل زیر بخش برشی و فشاری نیروی درگ به تفکیک نشان داده شده‌اند.

shear-pressure

بنابراین در حالت کلی می‌توان گفت:

نیروی درگ ناشی از فشار + نیروی درگ ناشی از برش = نیروی درگ

نیروی درگ در تحلیل آیرودینامیکی خودروها بسیار تاثیر‌گذار است زیرا خودرویی که نیروی درگ کمتری به آن وارد شود، به سوخت کمتری نیاز خواهد داشت. دلیل دوکی شکل بودن خودروهای امروزی هم امر است. تصویر زیر دو بنز مربوط به سال‌های 1920 و 2016 را نشان می‌دهد. به راحتی می‌توان تفاوت شکل آیرودینامیکی را در این دو خودرو مشاهده کرد.

drag






تاریخ : جمعه 97/5/26 | 9:18 صبح | نویسنده : مهندس سجاد شفیعی | نظرات ()
.: Weblog Themes By BlackSkin :.